ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Из русского фольклора.) За 30 монет купили 30 птиц. Сколько купили птиц каждого вида, если за трёх воробьёв платили одну монету, за двух голубей — тоже одну монету, а за одну горлицу — две монеты, при этом купили хотя бы одну птичку каждого вида?

Пусть купили \( a \) воробьев, \( b \) голубей и \( (30 — a — b) \) горлиц.

Тогда, за \( a \) воробьев заплатили \( \frac{a}{3} \) монет, за \( b \) голубей — \( \frac{b}{2} \) монет,

а за \( (30 — a — b) \) горлиц — \( 2(30 — a — b) \) монет.

Всего за птиц заплатили 30 монет.

Составим уравнение:

\( \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 2(30 — a — b) = 30 \quad | \cdot 6 \)

\( 2a + 3b + 12(30 — a — b) = 180 \)

\( 2a + 3b + 360 — 12a — 12b = 180 \)

\( -10a — 9b = -180 \)

\( 10a + 9b = 180 \)

\( 10a = 180 — 9b \)

\( a = \frac{180 — 9b}{10}. \)

Так как всего купили 30 птиц, то \( (a + b) < 30 \).

Если \( b = 10 \), \( a = \frac{180 — 90}{10} = 9 \).

Больше нет такого натурального \( b \), при котором \( (180 — 9b) \) кратно 10 и \( (a + b) < 30 \).

Значит, купили 9 воробьев, 10 голубей и: \( 30 — 9 — 10 = 11 \) — горлиц.

Ответ: 9 воробьев, 10 голубей и 11 горлиц.

Шаг 1: Пусть \( a \) — количество воробьёв, \( b \) — количество голубей, а \( c \) — количество горлиц. Из условия задачи мы знаем, что всего купили 30 птиц, поэтому составим уравнение для общего числа птиц:

\( a + b + c = 30. \)

Шаг 2: Следующее условие связано с ценой птиц. За 3 воробья платят 1 монету, следовательно, за \( a \) воробьёв платят \( \frac{a}{3} \) монет. За 2 голубя платят 1 монету, то есть за \( b \) голубей платят \( \frac{b}{2} \) монет. За одну горлицу платят 2 монеты, следовательно, за \( c \) горлиц платят \( 2c \) монет. Сумма этих платежей должна быть равна 30 монетам, так как на все птицы было потрачено 30 монет. Составим уравнение для суммы денег:

\( \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 2c = 30. \)

Шаг 3: У нас есть система из двух уравнений:

1) \( a + b + c = 30, \)

2) \( \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 2c = 30. \)

Шаг 4: Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

\( 6 \cdot \left( \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 2c \right) = 6 \cdot 30 \)

\( 2a + 3b + 12c = 180. \)

Шаг 5: Теперь у нас есть система:

1) \( a + b + c = 30, \)

2) \( 2a + 3b + 12c = 180. \)

Шаг 6: Из первого уравнения выразим \( a \) через \( b \) и \( c \):

\( a = 30 — b — c. \)

Шаг 7: Подставим это выражение для \( a \) во второе уравнение:

\( 2(30 — b — c) + 3b + 12c = 180. \)

Шаг 8: Раскроем скобки и упростим выражение:

\( 60 — 2b — 2c + 3b + 12c = 180. \)

\( 60 + b + 10c = 180. \)

Шаг 9: Переносим 60 на правую сторону:

\( b + 10c = 120. \)

Шаг 10: Теперь выразим \( b \) через \( c \):

\( b = 120 — 10c. \)

Шаг 11: Подставим это выражение для \( b \) в первое уравнение:

\( a + (120 — 10c) + c = 30. \)

Шаг 12: Упростим уравнение:

\( a + 120 — 10c + c = 30. \)

\( a = 30 — 120 + 9c. \)

\( a = 9c — 90. \)

Шаг 13: Поскольку \( a \) должно быть положительным числом, то \( 9c — 90 > 0 \). Из этого неравенства получаем:

\( 9c > 90, \)

\( c > 10. \)

Шаг 14: Поскольку \( c \) — целое число, то наименьшее значение \( c \), которое удовлетворяет неравенству, это \( c = 11 \).

Шаг 15: Подставим \( c = 11 \) в выражения для \( a \) и \( b \):

\( a = 9 \cdot 11 — 90 = 99 — 90 = 9, \)

\( b = 120 — 10 \cdot 11 = 120 — 110 = 10. \)

Шаг 16: Таким образом, рабочий купил 9 воробьёв, 10 голубей и 11 горлиц.

Ответ: 9 воробьёв, 10 голубей и 11 горлиц.