ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : \left(\frac{13}{x + 6} — x + 6\right) \)

2) \( \left(c — \frac{2c — 9}{c + 8}\right) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 — 64} + \frac{24}{c}  \)

3) \( \left(\frac{36}{x^2 — 9} — \frac{x — 3}{x + 3} — \frac{3 + x}{3 — x}\right) : \frac{6}{3 — x}  \)

4) \( \left(\frac{2y — 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 — 8} + \frac{1}{y — 2}\right) \cdot \frac{y^2 — 4}{18}  \)

1) \( \frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : \left(\frac{13}{x + 6} — x + 6\right) = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \left(\frac{13}{x + 6} — (x — 6)\right) = \)
\( = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{13 — (x — 6)(x + 6)}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{13 — x^2 + 36}{x + 6} = \)
\( = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{-x^2 + 49}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2 \cdot (x + 6)}{(x + 6) \cdot (49 — x^2)} = \frac{(x + 7)^2}{(7 — x)(7 + x)} = \frac{7 + x}{7 — x}; \)

2) \( \left(c — \frac{2c — 9}{c + 8}\right) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 — 64} + \frac{24}{c} = \frac{c(c + 8) — (2c — 9)}{c + 8} \cdot \frac{c^2 — 64}{c^2 + 3c} + \frac{24}{c} = \)
\( = \frac{c^2 + 8c — 2c + 9}{c + 8} \cdot \frac{c^2 — 64}{c^2 + 3c} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 + 6c + 9}{c + 8} \cdot \frac{c^2 — 64}{c^2 + 3c} + \frac{24}{c} = \)
\( = \frac{(c + 3)^2 \cdot (c — 8)(c + 8)}{(c + 8) \cdot c(c + 3)} + \frac{24}{c} = \frac{(c + 3)(c — 8)}{c} + \frac{24}{c} = \)
\( = \frac{c^2 — 8c + 3c — 24 + 24}{c} = \frac{c^2 — 5c}{c} = \frac{c(c — 5)}{c} = c — 5; \)

3) \( \left(\frac{36}{x^2 — 9} — \frac{x — 3}{x + 3} — \frac{3 + x}{3 — x}\right) : \frac{6}{3 — x} = \left(\frac{36}{x^2 — 9} — \frac{x — 3}{x + 3} + \frac{3 + x}{x — 3}\right) \cdot \frac{3 — x}{6} = \)
\( = \frac{36 — (x — 3)^2 + (x + 3)^2}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{3 — x}{6} = \)
\( = \frac{36 — (x^2 — 6x + 9) + (x^2 + 6x + 9)}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{3 — x}{6} = \)
\( = \frac{36 — x^2 + 6x — 9 + x^2 + 6x + 9}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{3 — x}{6} = \frac{12x + 36}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{3 — x}{6} = \)
\( = \frac{12(x + 3) \cdot (3 — x)}{(x — 3)(x + 3) \cdot 6} = -2; \)

4) \( \left(\frac{2y — 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 — 8} + \frac{1}{y — 2}\right) \cdot \frac{y^2 — 4}{18} = \)
\( = \frac{(2y — 1)(y — 2) + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4)} \cdot \frac{y^2 — 4}{18} = \)
\( = \frac{2y^2 — 4y — y + 2 + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4)} \cdot \frac{y^2 — 4}{18} = \)
\( = \frac{3y^2 + 6y + 12}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4)} \cdot \frac{(y — 2)(y + 2)}{18} = \)
\( = \frac{3(y^2 + 2y + 4) \cdot (y — 2)(y + 2)}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4) \cdot 18} = \frac{y + 2}{6}. \)

1) \( \frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : \left(\frac{13}{x + 6} — x + 6\right) \)

Шаг 1: Перепишем первое выражение:
\( \frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} \)

Шаг 2: Перепишем второе выражение в скобках:
\( \frac{13}{x + 6} — (x — 6) = \frac{13}{x + 6} — \frac{(x — 6)(x + 6)}{x + 6} = \frac{13 — (x^2 — 36)}{x + 6} = \frac{13 — x^2 + 36}{x + 6} \)

Шаг 3: Подставляем:
\( = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{13 — x^2 + 36}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{-x^2 + 49}{x + 6} \)

Шаг 4: Умножаем числитель и знаменатель на \( (x + 6) \):
\( = \frac{(x + 7)^2 \cdot (x + 6)}{(x + 6) \cdot (49 — x^2)} = \frac{(x + 7)^2}{(7 — x)(7 + x)} \)

Шаг 5: Упрощаем:
\( = \frac{7 + x}{7 — x} \)

Ответ: \( \frac{7 + x}{7 — x} \)

2) \( \left(c — \frac{2c — 9}{c + 8}\right) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 — 64} + \frac{24}{c}  \)

Шаг 1: Преобразуем первое выражение:
\( c — \frac{2c — 9}{c + 8} = \frac{c(c + 8) — (2c — 9)}{c + 8} = \frac{c^2 + 8c — 2c + 9}{c + 8} = \frac{c^2 + 6c + 9}{c + 8} \)

Шаг 2: Подставим во все выражения:
\( \frac{c^2 + 6c + 9}{c + 8} \cdot \frac{c^2 — 64}{c^2 + 3c} + \frac{24}{c} \)

Шаг 3: Разложим \( c^2 — 64 \) как разницу квадратов:
\( = \frac{(c + 3)^2 \cdot (c — 8)(c + 8)}{(c + 8) \cdot c(c + 3)} + \frac{24}{c} \)

Шаг 4: Упростим:
\( = \frac{(c + 3)(c — 8)}{c} + \frac{24}{c} \)

Шаг 5: Приводим к общему знаменателю:
\( = \frac{c^2 — 8c + 3c — 24 + 24}{c} = \frac{c^2 — 5c}{c} = \frac{c(c — 5)}{c} = c — 5 \)

Ответ: \( c — 5 \)

3) \( \left(\frac{36}{x^2 — 9} — \frac{x — 3}{x + 3} — \frac{3 + x}{3 — x}\right) : \frac{6}{3 — x}  \)

Шаг 1: Перепишем выражение:
\( \frac{36}{x^2 — 9} = \frac{36}{(x — 3)(x + 3)} \)

Шаг 2: Перепишем дроби:
\( \frac{x — 3}{x + 3} = \frac{-(x — 3)}{x + 3} \)

Шаг 3: Подставим во всё выражение:
\( \left(\frac{36}{(x — 3)(x + 3)} — \frac{(x — 3)}{(x + 3)} — \frac{(3 + x)}{(3 — x)}\right) \cdot \frac{(3 — x)}{6} \)

Шаг 4: Упростим:
\( = \frac{36 — (x — 3)^2 + (x + 3)^2}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{3 — x}{6} \)

Шаг 5: Раскроем квадрат:
\( = \frac{36 — (x^2 — 6x + 9) + (x^2 + 6x + 9)}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{3 — x}{6} = \)

Шаг 6: Упростим числитель:
\( = \frac{12x + 36}{(x — 3)(x + 3)} \cdot \frac{3 — x}{6} \)

Шаг 7: Сократим и упростим:
\( = \frac{12(x + 3)(3 — x)}{(x — 3)(x + 3) \cdot 6} = -2 \)

Ответ: \( -2 \)

4) \( \left(\frac{2y — 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 — 8} + \frac{1}{y — 2}\right) \cdot \frac{y^2 — 4}{18}  \)

Шаг 1: Разделим на множители:
\( \frac{y^2 — 4}{18} = \frac{(y — 2)(y + 2)}{18} \)

Шаг 2: Разделим первое выражение:
\( \frac{2y — 1}{y^2 + 2y + 4} \)

Шаг 3: Преобразуем все выражения в числителе:
\( \frac{(2y — 1)(y — 2) + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4)} \)

Шаг 4: Упростим числитель:
\( = \frac{2y^2 — 4y — y + 2 + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4)} = \)

Шаг 5: Сложим и упростим:
\( = \frac{3y^2 + 6y + 12}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4)} \)

Шаг 6: Умножим:
\( = \frac{3(y^2 + 2y + 4)(y — 2)(y + 2)}{(y — 2)(y^2 + 2y + 4) \cdot 18} = \frac{y + 2}{6} \)

Ответ: \( \frac{y + 2}{6} \)