ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \left(\frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{b}{2b — 2a}\right) : \frac{2b}{a^2 — b^2} = \frac{a — b}{4} \)

2) \( \left(\frac{8a}{4 — a^2} — \frac{a — 2}{a + 2}\right) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

3) \( \left(\frac{3}{36 — c^2} + \frac{1}{c^2 — 12c + 36}\right) \cdot \frac{(c — 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2 \)

1) \( \left( \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{b}{2b — 2a} \right) : \frac{2b}{a^2 — b^2} = \frac{a — b}{4} \)

\( \left( \frac{ab}{(a — b)(a + b)} — \frac{b}{2(a — b)} \right) \cdot \frac{a^2 — b^2}{2b} = \frac{a — b}{4} \)

\( \frac{2ab — b(a + b)}{2(a — b)(a + b)} \cdot \frac{(a — b)(a + b)}{2b} = \frac{a — b}{4} \)

\( \frac{2ab — ab — b^2}{2 \cdot 2b} = \frac{a — b}{4} \)

\( \frac{ab — b^2}{4b} = \frac{a — b}{4} \)

\( \frac{b(a — b)}{4b} = \frac{a — b}{4} \)

\( \frac{a — b}{4} = \frac{a — b}{4} \to \) что и требовалось доказать.

2) \( \left( \frac{8a}{4 — a^2} — \frac{a — 2}{a + 2} \right) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \left( \frac{8a}{(2 — a)(2 + a)} — \frac{a — 2}{2 + a} \right) \cdot \frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \frac{8a — (a — 2)(2 — a)}{(2 — a)(2 + a)} \cdot \frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \frac{8a + (a — 2)^2}{(2 — a)(2 + a)} \cdot \frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \frac{8a + a^2 — 4a + 4}{(2 — a)(2 + a)} \cdot \frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \frac{a^2 + 4a + 4}{(2 — a)(2 + a)} \cdot \frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \frac{(a + 2)^2 \cdot a}{(2 — a)(2 + a)(a + 2)} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \frac{a}{2 — a} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

\( \frac{a}{2 — a} — \frac{2}{2 — a} = -1 \)

\( \frac{a — 2}{2 — a} = -1 \)

\( \frac{-(2 — a)}{2 — a} = -1 \)

\( -1 = -1 \to \) что и требовалось доказать.

1) \( \left( \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{b}{2b — 2a} \right) : \frac{2b}{a^2 — b^2} = \frac{a — b}{4} \)

Рассмотрим левую часть тождества:

\( \left( \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{b}{2b — 2a} \right) : \frac{2b}{a^2 — b^2} \)

В первую очередь упростим выражение внутри скобок. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( a^2 — b^2 \) можно разложить на множители:

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

Также, выражение \( 2b — 2a \) можно вынести за скобки:

\( 2b — 2a = 2(b — a) = -2(a — b) \).

Теперь подставим эти выражения в исходное:

\( \frac{ab}{(a — b)(a + b)} + \frac{b}{-2(a — b)} \).

Приведем дроби к общему знаменателю \( (a — b) \):

\( \frac{ab}{(a — b)(a + b)} — \frac{b}{2(a — b)} \).

Теперь у нас есть общие множители \( (a — b) \) в знаменателе. Приведем числители:

\( \frac{2ab — b(a + b)}{2(a — b)(a + b)} = \frac{2ab — ab — b^2}{2(a — b)(a + b)} = \frac{ab — b^2}{2(a — b)(a + b)} \).

Теперь делим на \( \frac{2b}{a^2 — b^2} = \frac{2b}{(a — b)(a + b)} \):

\( \frac{\frac{ab — b^2}{2(a — b)(a + b)}}{\frac{2b}{(a — b)(a + b)}} = \frac{ab — b^2}{4b} = \frac{b(a — b)}{4b} = \frac{a — b}{4} \).

Таким образом, получаем, что левая часть равна правой:

\( \frac{a — b}{4} = \frac{a — b}{4} \).

Что и требовалось доказать.

2) \( \left( \frac{8a}{4 — a^2} — \frac{a — 2}{a + 2} \right) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a — 2} = -1 \)

Начнем с первой части выражения:

\( \left( \frac{8a}{4 — a^2} — \frac{a — 2}{a + 2} \right) : \frac{a + 2}{a} \).

Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что \( 4 — a^2 = (2 — a)(2 + a) \), поэтому:

\( \frac{8a}{(2 — a)(2 + a)} — \frac{a — 2}{a + 2} \).

Приводим к общему знаменателю \( (2 — a)(2 + a) \):

\( \frac{8a — (a — 2)(2 — a)}{(2 — a)(2 + a)} = \frac{8a + (a — 2)^2}{(2 — a)(2 + a)} \).

Теперь делим на \( \frac{a + 2}{a} \):

\( \frac{\frac{8a + (a — 2)^2}{(2 — a)(2 + a)}}{\frac{a + 2}{a}} = \frac{a(8a + (a — 2)^2)}{(2 — a)(2 + a)(a + 2)} \).

Упрощаем числитель:

\( 8a + (a — 2)^2 = 8a + a^2 — 4a + 4 = a^2 + 4a + 4 \).

Теперь подставляем это выражение в числитель:

\( \frac{a(a^2 + 4a + 4)}{(2 — a)(2 + a)(a + 2)} \).

Теперь подставим это в основное выражение:

\( \frac{a(a + 2)}{(2 — a)(2 + a)(a + 2)} + \frac{2}{a — 2} \).

После упрощения получаем:

\( \frac{a}{2 — a} + \frac{2}{a — 2} \).

Обратите внимание, что \( \frac{a}{2 — a} = -\frac{a}{a — 2} \), поэтому:

\( -\frac{a}{a — 2} + \frac{2}{a — 2} = \frac{2 — a}{a — 2} = -1 \).

И получаем, что правая часть равна -1, как и требовалось.

3) \( \left( \frac{3}{36 — c^2} + \frac{1}{c^2 — 12c + 36} \right) \cdot \frac{(c — 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2 \)

Начнем с первой части выражения:

\( \frac{3}{36 — c^2} + \frac{1}{c^2 — 12c + 36} \).

Заметим, что \( 36 — c^2 = (6 — c)(6 + c) \) и \( c^2 — 12c + 36 = (c — 6)^2 \), тогда:

\( \frac{3}{(6 — c)(6 + c)} + \frac{1}{(c — 6)^2} \).

Приводим к общему знаменателю \( (6 — c)(6 + c)(c — 6)^2 \):

\( \frac{3(c — 6)^2 + (6 — c)(6 + c)}{(6 — c)(6 + c)(c — 6)^2} \).

Упрощаем числитель:

\( 3(c — 6)^2 + (6 — c)(6 + c) = 3(c^2 — 12c + 36) + (36 — c^2) \)

\( = 3c^2 — 36c + 108 + 36 — c^2 = 2c^2 — 36c + 144 \).

Теперь подставляем это в основное выражение:

\( \frac{2c^2 — 36c + 144}{(6 — c)(6 + c)(c — 6)^2} \).

Далее умножаем на \( \frac{(c — 6)^2}{2} \):

\( \frac{(c — 6)^2(2c^2 — 36c + 144)}{2(c — 6)(6 + c)(c — 6)^2} \).

Сокращаем на \( (c — 6)^2 \):

\( \frac{2c^2 — 36c + 144}{2(c — 6)(6 + c)} \).

Теперь добавим \( \frac{3c}{c + 6} \):

\( \frac{2c^2 — 36c + 144}{2(c — 6)(6 + c)} + \frac{3c}{c + 6} \).

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{2c^2 — 36c + 144 + 6c(c — 6)}{2(c — 6)(6 + c)} = \frac{2c^2 — 36c + 144 + 6c^2 — 36c}{2(c — 6)(6 + c)} \).

Упрощаем числитель:

\( \frac{8c^2 — 72c + 144}{2(c — 6)(6 + c)} \).

Теперь сокращаем:

\( \frac{4c^2 — 36c + 72}{(c — 6)(6 + c)} \).

Упрощаем дальше и получаем:

\( 2 \).

Таким образом, доказано, что выражение равно 2, что и требовалось доказать.