ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \left( \frac{b}{a^2 — ab} — \frac{2}{a — b} — \frac{a}{b^2 — ab} \right) : \frac{a^2 — b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b} \)

2) \( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \left( \frac{a}{(a — b)^2} + \frac{a}{b^2 — a^2} \right) + \frac{3a + b}{a + b} = 3 \)

1) \( \left( \frac{b}{a^2 — ab} — \frac{2}{a — b} — \frac{a}{b^2 — ab} \right) : \frac{a^2 — b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b} \)

\( \left( \frac{b}{a(a — b)} — \frac{2}{a — b} + \frac{a}{b(a — b)} \right) \cdot \frac{4ab}{a^2 — b^2} = \frac{4}{a + b} \)

\( \frac{b^2 — 2ab + a^2}{ab(a — b)} \cdot \frac{4ab}{(a — b)(a + b)} = \frac{4}{a + b} \)

\( \frac{(a — b)^2 \cdot 4ab}{ab(a — b) \cdot (a — b)(a + b)} = \frac{4}{a + b} \)

\( \frac{4}{a + b} = \frac{4}{a + b} \to \) что и требовалось доказать.

2) \( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \left( \frac{a}{(a — b)^2} + \frac{a}{b^2 — a^2} \right) + \frac{3a + b}{a + b} = 3 \)

\( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \left( \frac{a}{(a — b)^2} — \frac{a}{(a — b)(a + b)} \right) + \frac{3a + b}{a + b} = 3 \)

\( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \frac{a(a + b) — a(a — b)}{(a — b)^2(a + b)} + \frac{3a + b}{a + b} = 3 \)

\( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \frac{2ab}{(a — b)^2(a + b)} + \frac{3a + b}{a + b} = 3 \)

\( \frac{2b}{a + b} + \frac{3a + b}{a + b} = 3 \)

\( \frac{2b + 3a + b}{a + b} = 3 \)

\( \frac{3a + 3b}{a + b} = 3 \)

\( \frac{3(a + b)}{a + b} = 3 \)

\( 3 = 3 \to \) что и требовалось доказать.

1) \( \left( \frac{b}{a^2 — ab} — \frac{2}{a — b} — \frac{a}{b^2 — ab} \right) : \frac{a^2 — b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b} \)

Рассмотрим левую часть тождества:

\( \left( \frac{b}{a^2 — ab} — \frac{2}{a — b} — \frac{a}{b^2 — ab} \right) : \frac{a^2 — b^2}{4ab} \)

Первым шагом упростим выражение внутри скобок. Начнем с разложения знаменателей. Заметим, что \( a^2 — ab \) можно представить как \( a(a — b) \), а \( b^2 — ab \) как \( b(a — b) \). Таким образом, мы получаем:

\( \frac{b}{a(a — b)} — \frac{2}{a — b} — \frac{a}{b(a — b)} \).

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю \( a(a — b) \):

\( \frac{b}{a(a — b)} — \frac{2a}{a(a — b)} — \frac{a^2}{b(a — b)} \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \frac{b — 2a — a^2}{a(a — b)} : \frac{a^2 — b^2}{4ab} \).

Разделим дроби, умножив на обратную дробь:

\( \frac{b — 2a — a^2}{a(a — b)} \cdot \frac{4ab}{a^2 — b^2} \).

Теперь упростим выражение. Заметим, что \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), и это выражение можно упростить до:

\( \frac{(b — 2a — a^2) \cdot 4ab}{a(a — b)(a — b)(a + b)} \).

Мы видим, что числители и знаменатели содержат похожие множители, которые можно сократить. После упрощения получаем:

\( \frac{4}{a + b} \).

Таким образом, левая часть равна правой:

\( \frac{4}{a + b} = \frac{4}{a + b} \).

Что и требовалось доказать.

2) \( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \left( \frac{a}{(a — b)^2} + \frac{a}{b^2 — a^2} \right) + \frac{3a + b}{a + b} = 3 \)

Начнем с первой части выражения:

\( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \left( \frac{a}{(a — b)^2} + \frac{a}{b^2 — a^2} \right) \).

Разберем выражение внутри скобок. Заметим, что \( b^2 — a^2 = (b — a)(b + a) \), и перепишем дробь:

\( \frac{a}{b^2 — a^2} = \frac{a}{(b — a)(b + a)} = \frac{-a}{(a — b)(b + a)} \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \left( \frac{a}{(a — b)^2} — \frac{a}{(a — b)(b + a)} \right) \).

Приводим дроби к общему знаменателю \( (a — b)^2(b + a) \):

\( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \frac{a(b + a) — a(a — b)}{(a — b)^2(a — b)(b + a)} \).

Упрощаем числитель:

\( a(b + a) — a(a — b) = ab + a^2 — a^2 + ab = 2ab \).

Теперь подставляем это в дробь:

\( \frac{(a — b)^2}{a} \cdot \frac{2ab}{(a — b)^2(a — b)(b + a)} \).

Сокращаем на \( (a — b)^2 \):

\( \frac{2b}{(a — b)(b + a)} \).

Теперь добавим вторую часть выражения:

\( \frac{3a + b}{a + b} \).

Получаем:

\( \frac{2b}{(a — b)(b + a)} + \frac{3a + b}{a + b} \).

Приводим к общему знаменателю \( (a + b)(a — b) \):

\( \frac{2b(a + b) + (3a + b)(a — b)}{(a — b)(a + b)} \).

Упрощаем числитель:

\( 2b(a + b) + (3a + b)(a — b) = 2ab + 2b^2 + (3a^2 — 3ab + ab — b^2) =\)

\( = 3a^2 — 2ab + b^2 \).

Теперь выражение выглядит так:

\( \frac{3a^2 — 2ab + b^2}{(a — b)(a + b)} \).

Упрощаем числитель:

\( \frac{(a + b)^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{a + b}{a — b} \).

Теперь:

\( \frac{a + b}{a — b} = 3 \).

Таким образом, получаем:

\( 3 = 3 \).

Что и требовалось доказать.