ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной:

1) \( \left( \frac{a + 3}{a^2 — 1} — \frac{1}{a^2 + a} \right) : \frac{3a + 3}{a^2 — a} \)

2) \( \left( \frac{a}{a^2 — 49} — \frac{1}{a + 7} \right) : \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} — \frac{2}{a — 7}  \)

1) \( \left( \frac{a + 3}{a^2 — 1} — \frac{1}{a^2 + a} \right) : \frac{3a + 3}{a^2 — a} = \left( \frac{a + 3}{(a — 1)(a + 1)} — \frac{1}{a(a + 1)} \right) \cdot \frac{a^2 — a}{3a + 3} \)

\( \frac{a^2 — a}{3a + 3} = \frac{a(a — 1)}{3(a + 1)} \)

\( \frac{a(a + 3) — (a — 1)}{a(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{a(a — 1)}{3(a + 1)} = \frac{a^2 + 3a — a + 1}{a(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{a(a — 1)}{3(a + 1)} = \)

\( = \frac{a^2 + 2a + 1}{a(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{a(a — 1)}{3(a + 1)} = \frac{(a + 1)^2 \cdot a(a — 1)}{a(a — 1)(a + 1) \cdot 3(a + 1)} = \frac{1}{3} \Rightarrow \)

значение данного выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

2) \( \left( \frac{a}{a^2 — 49} — \frac{1}{a + 7} \right) : \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} — \frac{2}{a — 7} = \)

\( = \left( \frac{a}{(a — 7)(a + 7)} — \frac{1}{a + 7} \right) : \frac{7a}{(a + 7)^2} — \frac{2}{a — 7} = \frac{a — (a — 7)}{(a — 7)(a + 7)} \cdot \frac{(a + 7)^2}{7a} — \frac{2}{a — 7} = \)

\( = \frac{7}{(a — 7)(a + 7)} \cdot \frac{(a + 7)^2}{7a} — \frac{2}{a — 7} = \frac{a + 7}{a(a — 7)} — \frac{2}{a — 7} = \)

\( = \frac{a + 7 — 2a}{a(a — 7)} = \frac{7 — a}{a(a — 7)} = -\frac{1}{a} \Rightarrow \)

значение данного выражения зависит от значения входящей в него переменной.

1) Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной?

Рассмотрим выражение:

\( \left( \frac{a + 3}{a^2 — 1} — \frac{1}{a^2 + a} \right) : \frac{3a + 3}{a^2 — a} = \left( \frac{a + 3}{(a — 1)(a + 1)} — \frac{1}{a(a + 1)} \right) \cdot \frac{a^2 — a}{3a + 3} \)

Для начала преобразуем каждое слагаемое. В первом выражении \( \frac{a + 3}{a^2 — 1} \) можно разложить на множители в знаменателе, получив:
\( \frac{a + 3}{(a — 1)(a + 1)} \). Второе слагаемое \( \frac{1}{a^2 + a} \) можно также разложить:
\( \frac{1}{a(a + 1)} \). Таким образом, получаем:

\( \left( \frac{a + 3}{(a — 1)(a + 1)} — \frac{1}{a(a + 1)} \right) \cdot \frac{a^2 — a}{3a + 3} \)

Теперь упростим дробь \( \frac{a^2 — a}{3a + 3} \). В числителе можно вынести общий множитель \( a \), а в знаменателе вынести 3:
\( \frac{a(a — 1)}{3(a + 1)} \). Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{a(a + 3) — (a — 1)}{a(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{a(a — 1)}{3(a + 1)} \)

Теперь упростим числитель: \( a(a + 3) — (a — 1) = a^2 + 3a — a + 1 = a^2 + 2a + 1 \), и подставим это в выражение:

\( \frac{a^2 + 2a + 1}{a(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{a(a — 1)}{3(a + 1)} \)

Можно заметить, что числитель и знаменатель можно упростить:
\( \frac{(a + 1)^2 \cdot a(a — 1)}{a(a — 1)(a + 1) \cdot 3(a + 1)} \). В результате упрощения получаем:

\( \frac{1}{3} \)

Таким образом, значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной \( a \).

Ответ: не зависит.

2) Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной?

Рассмотрим второе выражение:

\( \left( \frac{a}{a^2 — 49} — \frac{1}{a + 7} \right) : \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} — \frac{2}{a — 7} \)

Первое слагаемое \( \frac{a}{a^2 — 49} \) можно разложить на множители в знаменателе, получив:
\( \frac{a}{(a — 7)(a + 7)} \). Второе слагаемое \( \frac{1}{a + 7} \) оставляем без изменений. Теперь рассмотрим вторую часть:

\( \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} — \frac{2}{a — 7} \), где \( a^2 + 14a + 49 \) является полным квадратом, то есть
\( (a + 7)^2 \). Подставим это в выражение, получив:

\( \frac{a — (a — 7)}{(a — 7)(a + 7)} \cdot \frac{(a + 7)^2}{7a} — \frac{2}{a — 7} \)

Упростим числитель: \( a — (a — 7) = 7 \), и подставим в выражение:

\( \frac{7}{(a — 7)(a + 7)} \cdot \frac{(a + 7)^2}{7a} — \frac{2}{a — 7} \)

Теперь упростим дроби: \( \frac{7}{(a — 7)(a + 7)} \cdot \frac{(a + 7)^2}{7a} = \frac{a + 7}{a(a — 7)} \). Таким образом, выражение примет вид:

\( \frac{a + 7}{a(a — 7)} — \frac{2}{a — 7} \)

Теперь упрощаем числитель: \( a + 7 — 2a = 7 — a \), и получаем:

\( \frac{7 — a}{a(a — 7)} \)

Упрощаем окончательно: \( -\frac{1}{a} \).

Ответ: зависит от значения переменной \( a \).