ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной:

1) \( \frac{3x^2 — 27}{4x^2 + 2} \cdot \left( \frac{6x + 1}{x — 3} + \frac{6x — 1}{x + 3} \right) \)

2) \( \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \left( \frac{2a}{4a^2 — 12a + 9} — \frac{3}{4a^2 — 9} \right) \)

1) \( \frac{3x^2 — 27}{4x^2 + 2} \cdot \left( \frac{6x + 1}{x — 3} + \frac{6x — 1}{x + 3} \right) = \frac{3x^2 — 27}{4x^2 + 2}. \)

\( \frac{(6x + 1)(x + 3) + (6x — 1)(x — 3)}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{3x^2 — 27}{4x^2 + 2}. \)

\( \frac{6x^2 + 18x + x + 3 + 6x^2 — 18x — x + 3}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{3x^2 — 27}{4x^2 + 2}. \)

\( \frac{12x^2 + 6}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{3(x^2 — 9) \cdot 6(2x^2 + 1)}{2(2x^2 + 1) \cdot (x^2 — 9)} = 3 \cdot 3 = 9 \pm \Rightarrow \) значение данного выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

2) \( \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \left( \frac{2a}{4a^2 — 12a + 9} — \frac{3}{4a^2 — 9} \right) =\)

\(= \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \left( \frac{2a}{(2a — 3)^2} — \frac{3}{(2a — 3)(2a + 3)} \right) =\)

\( = \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \frac{2a(2a + 3) — 3(2a — 3)}{(2a — 3)^2(2a + 3)} =\)

\(= \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \frac{4a^2 + 6a — 6a + 9}{(2a — 3)^2(2a + 3)} =\)

\(= \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \frac{4a^2 + 9}{(2a — 3)^2(2a + 3)} =\)

\(= \frac{3}{2a — 3} — \frac{2a(4a^2 — 9) \cdot (4a^2 + 9)}{(4a^2 + 9) \cdot (2a — 3)^2(2a + 3)} =\)

\(= \frac{3}{2a — 3} — \frac{2a(2a — 3)(2a + 3)}{(2a — 3)^2(2a + 3)} =\)

\(= \frac{3}{2a — 3} — \frac{2a}{2a — 3} = \frac{3 — 2a}{2a — 3} = -1\)

\pm \Rightarrow \) значение данного выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

1) Докажем, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной для следующего выражения:

\( \frac{3x^2 — 27}{4x^2 + 2} \cdot \left( \frac{6x + 1}{x — 3} + \frac{6x — 1}{x + 3} \right) \)

Шаг 1: Начнем с упрощения выражения в скобках:

\( \frac{6x + 1}{x — 3} + \frac{6x — 1}{x + 3} \)

Для приведения этих двух дробей к общему знаменателю, нам нужно найти наименьший общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель (НОД) для \( (x — 3) \) и \( (x + 3) \) будет \( (x — 3)(x + 3) \), так как это произведение этих двух выражений.

Теперь перепишем дроби с общим знаменателем:

\( \frac{6x + 1}{x — 3} = \frac{(6x + 1)(x + 3)}{(x — 3)(x + 3)} \)

\( \frac{6x — 1}{x + 3} = \frac{(6x — 1)(x — 3)}{(x — 3)(x + 3)} \)

Теперь сложим эти дроби:

\( \frac{(6x + 1)(x + 3) + (6x — 1)(x — 3)}{(x — 3)(x + 3)} \)

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

\( (6x + 1)(x + 3) = 6x^2 + 18x + x + 3 = 6x^2 + 19x + 3 \)

\( (6x — 1)(x — 3) = 6x^2 — 18x — x + 3 = 6x^2 — 19x + 3 \)

Теперь сложим оба выражения:

\( (6x^2 + 19x + 3) + (6x^2 — 19x + 3) = 12x^2 + 6 \)

Таким образом, выражение в скобках становится:

\( \frac{12x^2 + 6}{(x — 3)(x + 3)} \)

Шаг 3: Подставим полученное выражение обратно в исходное:

\( \frac{3x^2 — 27}{4x^2 + 2} \cdot \frac{12x^2 + 6}{(x — 3)(x + 3)} \)

Шаг 4: Упростим числители и знаменатели:

Числитель первого выражения можно факторизовать:

\( 3x^2 — 27 = 3(x^2 — 9) = 3(x — 3)(x + 3) \)

Числитель второго выражения можно вынести общий множитель:

\( 12x^2 + 6 = 6(2x^2 + 1) \)

Теперь подставим эти выражения в исходную формулу:

\( \frac{3(x — 3)(x + 3)}{4x^2 + 2} \cdot \frac{6(2x^2 + 1)}{(x — 3)(x + 3)} \)

Шаг 5: Сократим одинаковые множители \( (x — 3) \) и \( (x + 3) \):

\( \frac{3}{4x^2 + 2} \cdot 6(2x^2 + 1) \)

Шаг 6: Упростим выражение:

\( \frac{3 \cdot 6(2x^2 + 1)}{4x^2 + 2} \)

Теперь сократим числитель и знаменатель:

\( 4x^2 + 2 = 2(2x^2 + 1) \)

\( \frac{3 \cdot 6(2x^2 + 1)}{2(2x^2 + 1)} = 3 \cdot 3 = 9 \)

Шаг 7: Заключение:

Таким образом, мы получили, что значение выражения равно 9, и это значение не зависит от значения переменной \( x \). Следовательно, значение данного выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

2) Аналогичное доказательство для второго выражения:

\( \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \left( \frac{2a}{4a^2 — 12a + 9} — \frac{3}{4a^2 — 9} \right) \)

Шаг 1: Упростим выражение в скобках:

\( \frac{2a}{4a^2 — 12a + 9} — \frac{3}{4a^2 — 9} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{2a}{(2a — 3)^2} — \frac{3}{(2a — 3)(2a + 3)} \)

Шаг 2: Объединяем дроби:

\( \frac{2a(2a + 3) — 3(2a — 3)}{(2a — 3)^2(2a + 3)} \)

Шаг 3: Упрощаем числитель:

\( 2a(2a + 3) = 4a^2 + 6a \)

\( 3(2a — 3) = 6a — 9 \)

Теперь складываем числители:

\( 4a^2 + 6a — 6a + 9 = 4a^2 + 9 \)

Шаг 4: Подставляем обратно в выражение:

\( \frac{4a^2 + 9}{(2a — 3)^2(2a + 3)} \)

Шаг 5: Подставляем это в исходное выражение:

\( \frac{3}{2a — 3} — \frac{8a^3 — 18a}{4a^2 + 9} \cdot \frac{4a^2 + 9}{(2a — 3)^2(2a + 3)} \)

Шаг 6: Упрощаем выражение:

\( \frac{3}{2a — 3} — \frac{2a(4a^2 — 9)(4a^2 + 9)}{(4a^2 + 9)(2a — 3)^2(2a + 3)} \)

Шаг 7: Сокращаем одинаковые множители:

\( \frac{2a(2a — 3)(2a + 3)}{(2a — 3)^2(2a + 3)} = \frac{2a}{2a — 3} \)

Шаг 8: Получаем:

\( \frac{3}{2a — 3} — \frac{2a}{2a — 3} = \frac{3 — 2a}{2a — 3} = -1 \)

Шаг 9: Заключение:

Таким образом, мы получаем, что значение выражения равно -1, и это значение не зависит от значения переменной \( a \). Следовательно, значение данного выражения не зависит от значения входящей в него переменной.