ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{a — \frac{a^2}{a + 1}}{a — \frac{a}{a + 1}}  \)

2) \( \frac{a — \frac{6a — 9}{a}}{1 — \frac{3}{a}} \)

3) \( 1 — \frac{1}{1 — \frac{a}{1 — \frac{1}{a + 1}}}\)

4) \( \frac{\frac{2a — b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} — 1} + \frac{3 — \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} — 1}  \)

1) \( \frac{a — \frac{a^2}{a + 1}}{a — \frac{a}{a + 1}} = \frac{\frac{a(a + 1) — a^2}{a + 1}}{\frac{a(a + 1) — a}{a + 1}} = \frac{\frac{a^2 + a — a^2}{a + 1}}{\frac{a^2 + a — a}{a + 1}} = \frac{\frac{a}{a + 1}}{\frac{a^2}{a + 1}} = \frac{a}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a^2} = \frac{1}{a}; \)

2) \( \frac{a — \frac{6a — 9}{a}}{1 — \frac{3}{a}} = \frac{\frac{a^2 — (6a — 9)}{a}}{\frac{a — 3}{a}} = \frac{\frac{a^2 — 6a + 9}{a}}{\frac{a — 3}{a}} = \frac{\frac{(a — 3)^2}{a}}{\frac{a — 3}{a}} = \frac{(a — 3)^2}{a} \cdot \frac{a}{a — 3} = a — 3; \)

3) \( 1 — \frac{1}{1 — \frac{a}{1 — \frac{1}{a + 1}}} = 1 — \frac{1}{1 — \frac{a}{\frac{a + 1 — 1}{a + 1}}} = 1 — \frac{1}{1 — \frac{a}{\frac{a}{a + 1}}} = 1 — \frac{1}{1 — a \cdot \frac{a + 1}{a}} =\)

\(= 1 — \frac{1}{1 — (a + 1)} = 1 — \frac{1}{1 — a — 1} = 1 — \frac{1}{-a} = 1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}; \)

4) \( \frac{\frac{2a — b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} — 1} + \frac{3 — \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} — 1} = \frac{\frac{2a — b + b}{b}}{\frac{2a + b — b}{b}} + \frac{\frac{3a — b}{a}}{\frac{3a — b}{b}} = \frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} + \left( \frac{3a — b}{a} \cdot \frac{b}{3a — b} \right) =\)

\(= \frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{2a} + \frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = \frac{a + b}{a}. \)

1) Упростим выражение:

\( \frac{a — \frac{a^2}{a + 1}}{a — \frac{a}{a + 1}} \)

Шаг 1: Начнем с упрощения числителя и знаменателя.

Числитель: \( a — \frac{a^2}{a + 1} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( a = \frac{a(a + 1)}{a + 1} \)

Теперь числитель:

\( \frac{a(a + 1)}{a + 1} — \frac{a^2}{a + 1} = \frac{a(a + 1) — a^2}{a + 1} = \frac{a^2 + a — a^2}{a + 1} = \frac{a}{a + 1} \)

Знаменатель: \( a — \frac{a}{a + 1} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( a = \frac{a(a + 1)}{a + 1} \)

Теперь знаменатель:

\( \frac{a(a + 1)}{a + 1} — \frac{a}{a + 1} = \frac{a(a + 1) — a}{a + 1} = \frac{a^2 + a — a}{a + 1} = \frac{a^2}{a + 1} \)

Шаг 2: Подставляем полученные выражения в исходное:

\( \frac{\frac{a}{a + 1}}{\frac{a^2}{a + 1}} = \frac{a}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a^2} \)

Шаг 3: Сокращаем одинаковые множители \( (a + 1) \):

\( \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} \)

Ответ: \( \frac{1}{a} \)

2) Упростим выражение:

\( \frac{a — \frac{6a — 9}{a}}{1 — \frac{3}{a}} \)

Шаг 1: Начнем с упрощения числителя и знаменателя.

Числитель: \( a — \frac{6a — 9}{a} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( a = \frac{a^2}{a} \)

Теперь числитель:

\( \frac{a^2}{a} — \frac{6a — 9}{a} = \frac{a^2 — (6a — 9)}{a} = \frac{a^2 — 6a + 9}{a} \)

Знаменатель: \( 1 — \frac{3}{a} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( 1 = \frac{a}{a} \)

Теперь знаменатель:

\( \frac{a}{a} — \frac{3}{a} = \frac{a — 3}{a} \)

Шаг 2: Подставляем полученные выражения в исходное:

\( \frac{\frac{a^2 — 6a + 9}{a}}{\frac{a — 3}{a}} = \frac{a^2 — 6a + 9}{a — 3} \)

Шаг 3: Разбиваем числитель:

\( a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2 \)

Теперь выражение:

\( \frac{(a — 3)^2}{a — 3} = a — 3 \)

Ответ: \( a — 3 \)

3) Упростим выражение:

\( 1 — \frac{1}{1 — \frac{a}{1 — \frac{1}{a + 1}}} \)

Шаг 1: Начнем с упрощения внутренней дроби.

Внутренняя дробь: \( \frac{1}{a + 1} \)

Подставляем её во вторую дробь:

\( 1 — \frac{1}{a + 1} = \frac{a + 1 — 1}{a + 1} = \frac{a}{a + 1} \)

Шаг 2: Теперь имеем:

\( 1 — \frac{1}{1 — \frac{a}{\frac{a}{a + 1}}} = 1 — \frac{1}{1 — a \cdot \frac{a + 1}{a}} \)

Шаг 3: Упростим:

\( 1 — a \cdot \frac{a + 1}{a} = 1 — (a + 1) \)

Шаг 4: Получаем:

\( 1 — \frac{1}{1 — (a + 1)} = 1 — \frac{1}{-a} = 1 + \frac{1}{a} \)

Ответ: \( \frac{a + 1}{a} \)

4) Упростим выражение:

\( \frac{\frac{2a — b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} — 1} + \frac{3 — \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} — 1} \)

Шаг 1: Начнем с упрощения числителя и знаменателя.

Числитель: \( \frac{2a — b}{b} + 1 \)

Приводим к общему знаменателю:

\( 1 = \frac{b}{b} \)

Теперь числитель:

\( \frac{2a — b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a}{b} \)

Знаменатель: \( \frac{2a + b}{b} — 1 \)

Приводим к общему знаменателю:

\( 1 = \frac{b}{b} \)

Теперь знаменатель:

\( \frac{2a + b}{b} — \frac{b}{b} = \frac{2a}{b} \)

Шаг 2: Подставляем полученные выражения:

\( \frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1 \)

Теперь вторую часть:

\( \frac{3 — \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} — 1} = \frac{\frac{3a — b}{a}}{\frac{3a — b}{b}} = \frac{3a — b}{a} \cdot \frac{b}{3a — b} = \frac{b}{a} \)

Шаг 3: Получаем:

\( 1 + \frac{b}{a} = \frac{a + b}{a} \)

Ответ: \( \frac{a + b}{a} \)