ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 4.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что количество людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное количество рукопожатий, является четным числом.

Если каждый человек сделал нечётное число рукопожатий, то при суммировании всех этих нечётных чисел получим чётное число. Из этого следует, что количество людей, совершивших нечётное число рукопожатий, должно быть чётным.

Что и требовалось доказать.

Задача: доказать, что количество людей, когда-либо живших на Земле и совершивших нечётное число рукопожатий, является чётным числом.

Шаг 1. Моделирование ситуации с помощью графа

Каждого человека представим как вершину графа. Соединяем двумя вершинами ребро, если соответствующие люди обменялись рукопожатием. Тогда степень вершины \(\deg(v)\) равна числу рукопожатий, совершённых этим человеком.

Шаг 2. Свойство сумм степеней

В любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер:

\( \sum_{i=1}^{n} \deg(v_i) = 2E \), где \(E\) — число рёбер.

Поскольку число рёбер \(E\) целое, сумма степеней всех вершин всегда чётная.

Шаг 3. Выделение вершин с нечётной степенью

Разделим вершины на две группы: вершины с чётной степенью и вершины с нечётной степенью. Пусть количество вершин с нечётной степенью равно \(k\). Сумма степеней всех вершин представляется как сумма степеней вершин с чётной степенью плюс сумма степеней вершин с нечётной степенью:

\( \sum_{i=1}^{n} \deg(v_i) = \sum_{\text{чётные}} \deg(v_i) + \sum_{\text{нечётные}} \deg(v_i) \)

Сумма степеней вершин с чётной степенью чётна, так как сумма чётных чисел всегда чётна. Сумма степеней вершин с нечётной степенью является суммой \(k\) нечётных чисел.

Шаг 4. Чётность суммы нечётных чисел

Сумма \(k\) нечётных чисел чётна тогда и только тогда, когда \(k\) чётно. Так как общая сумма степеней вершин уже чётна, получаем:

\( k \) — чётное число.

Шаг 5. Вывод

Следовательно, количество людей, совершивших нечётное число рукопожатий, всегда чётно.

Что и требовалось доказать.