ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 4.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В компании 10 человек. Можно ли утверждать, что все они являются одноклассниками, если каждый из них имеет в этой компании:

1) четыре одноклассника;

2) пять одноклассников?

Нарисуем граф:

1) По графу видно, что все 10 человек являются одноклассниками.

2) По графу видно, что не все 10 человек являются одноклассниками.

Задача: в компании 10 человек определить, можно ли утверждать, что все они являются одноклассниками в зависимости от числа одноклассников каждого человека.

Шаг 1. Моделирование ситуации через граф

Представим каждого человека как вершину графа. Соединяем две вершины ребром, если соответствующие люди являются одноклассниками. Тогда степень вершины \(\deg(v)\) равна числу одноклассников данного человека в компании.

Случай 1: каждый человек имеет 9 одноклассников

Если каждая вершина соединена со всеми остальными 9 вершинами, получаем полный граф \(K_{10}\). Каждая вершина имеет степень:

\( \deg(v) = 9 \)

Общее количество рёбер в графе:

\( E = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)

Так как каждая вершина соединена со всеми остальными, по графу видно, что все 10 человек являются одноклассниками.

Случай 2: каждый человек имеет 4 одноклассника

Здесь каждая вершина имеет степень:

\( \deg(v) = 4 \)

Общее количество рёбер:

\( E = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \)

Максимально возможное число рёбер для полной компании из 10 человек, если все были бы одноклассниками:

\( E_{\text{макс}} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)

Так как 20 < 45, значит, не все 10 человек являются одноклассниками.

Случай 3: каждый человек имеет 5 одноклассников

Здесь каждая вершина имеет степень:

\( \deg(v) = 5 \)

Общее количество рёбер:

\( E = \frac{10 \cdot 5}{2} = 25 \)

Сравнивая с максимальным числом рёбер 45, видим, что 25 < 45. Следовательно, не все 10 человек являются одноклассниками.

Шаг 2. Вывод

1) Если каждый человек имеет 9 одноклассников — по графу видно, что все 10 человек являются одноклассниками.

2) Если каждый человек имеет меньше 9 одноклассников (например, 4 или 5) — по графу видно, что не все 10 человек являются одноклассниками.