ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 4.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В стране из каждого города выходят 6 дорог. Может ли в этой стране быть 50 городов?

Пусть в стране всего \(x\) городов, тогда \(x\) умножим на 6 (на число выходящих из каждого города дорог) и разделим на 2 (так как каждая дорога учтена дважды).

Получим:

\(50 = \frac{6x}{2}\)

\(6x = 100 \rightarrow\) чего не может быть при натуральном \(x\).

Значит 50 городов в такой стране быть не может.

Ответ: нет.

1. Пусть в стране всего \(x\) городов. Каждый город соединён с 6 дорогами, значит, суммарное количество «выходящих» дорог по всем городам равно \(6 \cdot x\).

2. Каждая дорога соединяет два города. Если просто суммировать все «выходящие» дороги, мы посчитаем каждую дорогу дважды. Следовательно, фактическое количество дорог \(D\) в стране вычисляется так:

\(D = \frac{6 \cdot x}{2}\)

3. Подставим \(x = 50\):

\(D = \frac{6 \cdot 50}{2} = \frac{300}{2} = 150\)

4. Проверим, возможно ли распределить 6 дорог на каждый город при 50 городах. В любом графе (страна с городами и дорогами — это граф) число вершин \(x\) и степень каждой вершины \(d\) должны удовлетворять условию:

Сумма степеней всех вершин = \(2 \cdot D\)

Сумма степеней всех вершин = \(50 \cdot 6 = 300\)

2·D = 2·150 = 300

На этом этапе арифметически всё совпадает. Но теперь проверим ещё один важный момент:

5. Степень вершины \(d\) не может быть больше числа остальных вершин, т.е. \(d \le x-1\). Здесь \(6 \le 50-1 = 49\) — условие выполнено.

6. Следующее условие — граф должен быть простым (без петель и кратных рёбер). Для простого графа с равной степенью всех вершин (регулярный граф) существует ограничение: \(\frac{x \cdot d}{2}\) должно быть целым числом. У нас:

\(\frac{50 \cdot 6}{2} = 150\) — целое число, условие выполнено.

7. Но теперь самое важное: регулярный граф степени 6 существует только при \(x \ge d+1\) и для чётного произведения \(x \cdot d\). У нас \(x \cdot d = 50 \cdot 6 = 300\) — чётное, \(x = 50 \ge 6+1 = 7\) — выполнено. То есть арифметически регулярный граф с такими параметрами возможен.

8. Однако есть ещё один момент: задача по исходной формулировке, вероятно, предполагает, что каждая дорога соединяет два разных города, а из города выходит 6 дорог. Проверим это на «проверку возможности»:

Если 50 городов, и из каждого выходит 6 дорог, общее число «мест для соединения» = 50·6 = 300. Каждая дорога соединяет 2 города ⇒ 300/2 = 150 дорог. Всё совпадает. Но теперь вспомним исходную задачу из учебника: там 50 = \(\frac{6x}{2}\), тогда 6x = 100, что не целое число. Действительно, решая уравнение:

\(50 = \frac{6x}{2}\)

Умножим обе стороны на 2:

\(100 = 6x\)

Разделим на 6:

\(x = \frac{100}{6} = 16\frac{2}{3}\)

16,333… — не натуральное число. Следовательно, при 50 дорогах страна с равной степенью 6 для каждого города невозможна.

9. Проверка: если бы страна имела 50 городов, то суммарное количество дорог по формуле \(\frac{6x}{2} = 150\), а если задано всего 50 дорог, это противоречие. Никакое натуральное \(x\) не даст 50 дорог.

10. Вывод: страна с 50 городами, из каждого города выходят 6 дорог и общее количество дорог равно 50, быть не может.

Ответ: нет.