ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 4.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существует ли пятивершинный граф, степени вершин которого равны 4, 4, 4, 4, 2?

Пусть степень каждой из четырёх вершин равна 4.

Это значит, что каждая из них соединена со всеми остальными вершинами (в том числе и с пятой). Значит, степень пятой вершины также равна 4.

Следовательно, не существует пятивершинного графа, степени вершин которого равны 4, 4, 4, 4, 2.

Ответ: не существует.

Нам нужно определить, существует ли пятивершинный граф, степени вершин которого равны 4, 4, 4, 4, 2.

Шаг 1. Анализ условий

Граф имеет 5 вершин. Обозначим их \(A, B, C, D, E\). Степени вершин заданы как:

\( \deg(A) = 4, \deg(B) = 4, \deg(C) = 4, \deg(D) = 4, \deg(E) = 2 \)

Напомним, что степень вершины – это число рёбер, инцидентных данной вершине.

Шаг 2. Связь степеней с числом вершин

В простом графе максимальная степень вершины равна \(n-1\), где \(n\) — число вершин. Здесь \(n=5\), значит, максимальная степень любой вершины ≤ 4.

В нашем списке степеней четыре вершины имеют степень 4, что является максимальным возможным для графа с 5 вершинами. Это значит, что каждая из этих вершин соединена со всеми остальными вершинами.

То есть вершины \(A, B, C, D\) соединены между собой и с пятой вершиной \(E\).

Шаг 3. Проверка пятой вершины

Рассмотрим вершину \(E\). Она соединена с каждой из вершин \(A, B, C, D\), так как каждая из них имеет степень 4. Это уже даёт вершине \(E\) четыре рёбра. Следовательно, \(\deg(E) = 4\).

Но по условию \(\deg(E) = 2\). Получаем противоречие:

\( \deg(E) = 4 \pm 2 \)

То есть невозможно, чтобы вершина \(E\) имела степень 2, если остальные четыре вершины имеют максимальную степень 4.

Шаг 4. Вывод

Поскольку при попытке построить граф возникает противоречие в степени пятой вершины, такой граф не может существовать.

Ответ: не существует.