ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 4.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Можно ли нарисовать 11 отрезков так, чтобы каждый пересекался с пятью другими?

Предположим, что такая схема возможна.

Представим граф, в котором вершинам будут соответствовать данные отрезки. Вершины соединены ребрами, если отрезки пересекаются.

Получим граф, в котором 11 вершин степени 5, что невозможно.

Значит, нельзя нарисовать 11 отрезков так, чтобы каждый пересекался с пятью другими.

Ответ: нельзя.

Задача: определить, можно ли нарисовать 11 отрезков так, чтобы каждый пересекался с пятью другими.

Шаг 1. Моделирование с помощью графа

Каждому отрезку поставим в соответствие вершину графа. Соединим двумя вершинами ребро, если соответствующие отрезки пересекаются. В результате получаем граф, в котором каждая вершина имеет степень, равную числу пересечений данного отрезка с другими отрезками.

Шаг 2. Подсчет степеней

По условию каждый отрезок должен пересекаться с пятью другими. Следовательно, в графе каждая вершина должна иметь степень 5:

\( \deg(v) = 5 \) для каждой вершины \(v\).

Граф состоит из 11 вершин (по числу отрезков). Пусть общее количество рёбер в графе равно \(E\). Тогда сумма степеней всех вершин равна:

\( \sum_{i=1}^{11} \deg(v_i) = 11 \cdot 5 = 55 \)

Шаг 3. Проверка возможности

В простом графе сумма степеней всех вершин всегда равна удвоенному числу рёбер:

\( \sum_{i=1}^{n} \deg(v_i) = 2E \)

Подставим наши данные:

\( 55 = 2E \)

Отсюда получаем:

\( E = \frac{55}{2} = 27.5 \)

Мы получили нецелое число рёбер, что невозможно, так как количество рёбер должно быть целым числом.

Шаг 4. Вывод

Так как построить граф с 11 вершинами и степенями по 5 невозможно, значит, нельзя нарисовать 11 отрезков так, чтобы каждый пересекался с пятью другими.

Ответ: нельзя.