ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 4.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Девять шахматистов проводят турнир по круговой системе. Может ли так случиться, что в некоторый момент каждый сыграет по три партии?

Не может так случится, что в некоторый момент каждый из 9 шахматистов сыграет по три партии, так как чтобы каждый сыграл по три партии число игроков должно быть кратно 4, тогда в каждой четвёрке каждый сыграет с тремя другими.

Ответ: не может.

Задача: определить, может ли в некоторый момент девять шахматистов провести турнир так, чтобы каждый сыграл по три партии.

Шаг 1. Моделирование с помощью графа

Каждого шахматиста представим как вершину графа. Соединим ребром две вершины, если соответствующие шахматисты сыграли партию. Тогда степень вершины будет равна количеству сыгранных партией этим шахматистом.

По условию, каждый шахматист сыграл по три партии, значит, в графе каждая вершина имеет степень 3:

\( \deg(v) = 3 \) для каждой вершины \(v\).

Шаг 2. Сумма степеней и число рёбер

В простом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер:

\( \sum_{i=1}^{n} \deg(v_i) = 2E \)

Здесь \(n = 9\) шахматников, каждая вершина степени 3, тогда сумма степеней:

\( \sum_{i=1}^{9} \deg(v_i) = 9 \cdot 3 = 27 \)

Тогда общее число рёбер:

\( E = \frac{27}{2} = 13.5 \)

Шаг 3. Проверка целостности

Число рёбер должно быть целым, но мы получили \(13.5\), что невозможно. Это противоречие показывает, что построить такой граф нельзя.

Шаг 4. Логическая проверка через делимость

Если каждый шахматист сыграл по три партии, то количество игроков должно быть кратно 4. Действительно, в каждой четвёрке можно распределить партии так, чтобы каждый сыграл с тремя другими. Девять шахматистов не кратно 4, значит, такая схема невозможна.

Шаг 5. Вывод

Следовательно, в некоторый момент нельзя, чтобы каждый из 9 шахматистов сыграл по три партии.

Ответ: не может.