ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения:

1) \( 3^{-1} — 4^{-1}  \)

2) \( \left( \frac{2}{7} \right)^{-1} + (-2{,}3)^{0} — 5^{-2}  \)

3) \( 0{,}5^{-2} \cdot 4^{-1} \)

4) \( \left( 2^{-1} — 8^{-1} \cdot 16 \right)^{-1}  \)

1) \( 3^{-1} — 4^{-1} = \frac{1}{3} — \frac{1}{4} = \frac{4 — 3}{12} = \frac{1}{12}; \)

2) \( \left( \frac{2}{7} \right)^{-1} + (-2{,}3)^{0} — 5^{-2} = \left( \frac{7}{2} \right)^{1} + 1 — \frac{1}{5^{2}} = \frac{7}{2} + 1 — \frac{1}{25} = \)
\( = 3{,}5 + 1 — 0{,}04 = 4{,}5 — 0{,}04 = 4{,}46; \)

3) \( 0{,}5^{-2} \cdot 4^{-1} = \frac{1}{0{,}5^{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{0{,}25} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{1} = 1; \)

4) \( \left( 2^{-1} — 8^{-1} \cdot 16 \right)^{-1} = \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{8} \cdot 16 \right)^{-1} = \left( \frac{1}{2} — 2 \right)^{-1} = \left( -1\frac{1}{2} \right)^{-1} = \)
\( = \left( -\frac{3}{2} \right)^{-1} = \left( -\frac{2}{3} \right)^{1} = -\frac{2}{3}. \)

1) \( 3^{-1} — 4^{-1} \):

Шаг 1: Используем правило для отрицательных показателей степени. Для \( 3^{-1} \) это будет \( \frac{1}{3} \), а для \( 4^{-1} \) — \( \frac{1}{4} \).

\( 3^{-1} — 4^{-1} = \frac{1}{3} — \frac{1}{4}. \)

Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 — это 12.

\( \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}. \)

Шаг 3: Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

\( \frac{4}{12} — \frac{3}{12} = \frac{4 — 3}{12} = \frac{1}{12}. \)

Ответ: \( 3^{-1} — 4^{-1} = \frac{1}{12}. \)

2) \( \left( \frac{2}{7} \right)^{-1} + (-2{,}3)^{0} — 5^{-2} \):

Шаг 1: Применяем правило для отрицательных степеней: \( \left( \frac{2}{7} \right)^{-1} = \frac{7}{2} \), так как при отрицательной степени дробь переворачивается.

Шаг 2: Для \( (-2{,}3)^0 \) применяем правило, что любое число, возведенное в степень 0, равно 1.

\( (-2{,}3)^0 = 1. \)

Шаг 3: Для \( 5^{-2} \) применяем правило для отрицательной степени: \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}. \)

Шаг 4: Теперь собираем выражение:

\( \frac{7}{2} + 1 — \frac{1}{25}. \)

Шаг 5: Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 25 — это 50. Преобразуем дроби:

\( \frac{7}{2} = \frac{175}{50}, \quad 1 = \frac{50}{50}, \quad \frac{1}{25} = \frac{2}{50}. \)

Шаг 6: Сложим и вычтем дроби:

\( \frac{175}{50} + \frac{50}{50} — \frac{2}{50} = \frac{175 + 50 — 2}{50} = \frac{223}{50} = 4{,}46. \)

Ответ: \( \left( \frac{2}{7} \right)^{-1} + (-2{,}3)^{0} — 5^{-2} = 4{,}46. \)

3) \( 0{,}5^{-2} \cdot 4^{-1} \):

Шаг 1: Для \( 0{,}5^{-2} \) преобразуем \( 0{,}5 \) в дробь: \( 0{,}5 = \frac{1}{2} \). Таким образом, \( 0{,}5^{-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4. \)

Шаг 2: Для \( 4^{-1} \) применяем правило для отрицательных степеней: \( 4^{-1} = \frac{1}{4}. \)

Шаг 3: Теперь умножим полученные результаты:

\( 4 \cdot \frac{1}{4} = 1. \)

Ответ: \( 0{,}5^{-2} \cdot 4^{-1} = 1. \)

4) \( \left( 2^{-1} — 8^{-1} \cdot 16 \right)^{-1} \):

Шаг 1: Для \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \) и для \( 8^{-1} = \frac{1}{8} \), умножаем \( \frac{1}{8} \) на 16:

\( 8^{-1} \cdot 16 = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2. \)

Шаг 2: Теперь вычитаем дроби:

\( 2^{-1} — 2 = \frac{1}{2} — 2 = \frac{1}{2} — \frac{4}{2} = \frac{1 — 4}{2} = \frac{-3}{2}. \)

Шаг 3: Возводим выражение в степень \( -1 \):

\( \left( -\frac{3}{2} \right)^{-1} = -\frac{2}{3}. \)

Ответ: \( \left( 2^{-1} — 8^{-1} \cdot 16 \right)^{-1} = -\frac{2}{3}. \)