ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

1) \( 2^{-2} + 2^{-1}  \)

2) \( 3^{-2} — 6^{-1}  \)

3) \( 0{,}03^0 + 0{,}7^0  \)

4) \( (9 \cdot 3^{-3} — 12^{-1})^{-1} \)

1) \( 2^{-2} + 2^{-1} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}; \)

2) \( 3^{-2} — 6^{-1} = \frac{1}{3^2} — \frac{1}{6} = \frac{1}{9} — \frac{1}{6} = \frac{2-3}{18} = -\frac{1}{18}; \)

3) \( 0{,}03^0 + 0{,}7^0 = 1 + 1 = 2; \)

4) \( (9 \cdot 3^{-3} — 12^{-1})^{-1} = \left(9 \cdot \frac{1}{3^3} — \frac{1}{12}\right)^{-1} = \left(9 \cdot \frac{1}{27} — \frac{1}{12}\right)^{-1} = \)

\( = \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{12}\right)^{-1} = \left(\frac{4-1}{12}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{12}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4^1 = 4. \)

1) Рассмотрим выражение \( 2^{-2} + 2^{-1} \):

Используем правило, что \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), чтобы преобразовать степени:

\( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \) и \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \),

Тогда выражение \( 2^{-2} + 2^{-1} \) примет вид:

\( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \).

Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю:

Найдем наименьший общий знаменатель для \( 4 \) и \( 2 \), который равен \( 4 \).

Преобразуем дробь \( \frac{1}{2} \) в дробь с знаменателем \( 4 \):

\( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \).

Теперь сложим дроби:

\( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \).

Таким образом, \( 2^{-2} + 2^{-1} = \frac{3}{4} \).

2) Рассмотрим выражение \( 3^{-2} — 6^{-1} \):

Применим правило для отрицательных степеней:

\( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \) и \( 6^{-1} = \frac{1}{6} \),

Таким образом, выражение \( 3^{-2} — 6^{-1} \) примет вид:

\( \frac{1}{9} — \frac{1}{6} \).

Чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю:

Наименьший общий знаменатель для \( 9 \) и \( 6 \) равен \( 18 \).

Преобразуем дроби:

\( \frac{1}{9} = \frac{2}{18} \) и \( \frac{1}{6} = \frac{3}{18} \).

Теперь вычитаем дроби:

\( \frac{2}{18} — \frac{3}{18} = \frac{2-3}{18} = -\frac{1}{18} \).

Таким образом, \( 3^{-2} — 6^{-1} = -\frac{1}{18} \).

3) Рассмотрим выражение \( 0{,}03^0 + 0{,}7^0 \):

Любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1, поэтому:

\( 0{,}03^0 = 1 \) и \( 0{,}7^0 = 1 \).

Теперь сложим эти значения:

\( 1 + 1 = 2 \).

Таким образом, \( 0{,}03^0 + 0{,}7^0 = 2 \).

4) Рассмотрим выражение \( (9 \cdot 3^{-3} — 12^{-1})^{-1} \):

Начнем с преобразования степеней:

\( 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \) и \( 12^{-1} = \frac{1}{12} \),

Тогда выражение примет вид:

\( \left(9 \cdot \frac{1}{27} — \frac{1}{12}\right)^{-1} \).

Выполним умножение и вычитание в скобках:

\( 9 \cdot \frac{1}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} \),

Таким образом, выражение становится:

\( \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{12}\right)^{-1} \).

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

Наименьший общий знаменатель для \( 3 \) и \( 12 \) равен \( 12 \).

Преобразуем дробь \( \frac{1}{3} \) в дробь с знаменателем \( 12 \):

\( \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \).

Теперь вычитаем дроби:

\( \frac{4}{12} — \frac{1}{12} = \frac{4-1}{12} = \frac{3}{12} \).

Таким образом, выражение принимает вид:

\( \left(\frac{3}{12}\right)^{-1} \).

Теперь вычислим обратное значение для дроби \( \frac{3}{12} \):

\( \left(\frac{3}{12}\right)^{-1} = \frac{12}{3} = 4 \).

Таким образом, \( (9 \cdot 3^{-3} — 12^{-1})^{-1} = 4 \).