ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \).

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

\( \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

\( \frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

\( \frac{1}{a^n} \cdot \frac{b^n}{1} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

\( \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

\( \left(\frac{b}{a}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^n \).

Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать равенство \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \), давайте начнем с того, что вспомним, как работает отрицательная степень.

1) Рассмотрим левую часть выражения \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} \):

По определению отрицательной степени, \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \), где \( x \) — это любое число, а \( n \) — целое число. Таким образом:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} \).

2) Теперь вычислим \( \left(\frac{a}{b}\right)^n \):

По свойствам степени, \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \). Таким образом:

\( \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} \).

3) Применим свойство дробей, что \( \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{y}{x} \), чтобы упростить выражение:

\( \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} \).

Таким образом, левая часть \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} \) преобразуется в \( \frac{b^n}{a^n} \).

4) Теперь обратимся к правой части выражения \( \left(\frac{b}{a}\right)^n \):

По свойствам степени, \( \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n} \).

Таким образом, правая часть выражения равна \( \frac{b^n}{a^n} \).

5) Сравнив обе части, мы видим, что левая и правая части равны:

\( \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n} \).

Следовательно, мы доказали, что \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \).