ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

1) \( 12^0 \) и \( (-6)^0 \);

2) \( 0{,}2^3 \) и \( 0{,}2^{-3} \);

3) \( 4^6 \) и \( 0{,}25^{-6} \);

4) \( 3^{-1} \cdot 7^{-1} \) и \( 21^{-1} \);

5) \( 5^{-1} — 7^{-1} \) и \( 2^{-1} \);

6) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \) и \( \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1} \).

1) \( 12^0 = 1;\quad (-6)^0 = 1. \)

Тогда: \( 12^0 = (-6)^0. \)

2) \( 0{,}2^3 = 0{,}008;\quad 0{,}2^{-3} = \frac{1}{0{,}2^3} = \frac{1}{0{,}008} = 125. \)

Тогда: \( 0{,}2^3 < 0{,}2^{-3}. \)

3) \( 4^6;\quad 0{,}25^{-6} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-6} = 4^6. \)

Тогда: \( 4^6 = 0{,}25^{-6}. \)

4) \( 3^{-1} \cdot 7^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21};\quad 21^{-1} = \frac{1}{21}. \)

Тогда: \( 3^{-1} \cdot 7^{-1} = 21^{-1}. \)

5) \( 5^{-1} — 7^{-1} = \frac{1}{5} — \frac{1}{7} = \frac{7-5}{35} = \frac{2}{35};\quad 2^{-1} = \frac{1}{2}. \)

Тогда: \( 5^{-1} — 7^{-1} < 2^{-1}. \)

6) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 3 + 2 = 5; \)

\( \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{2+3}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5} = 1{,}2. \)

Тогда: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} > \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1}. \)

1) Рассмотрим выражения \( 12^0 \) и \( (-6)^0 \):

По свойству степени, любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1. Это относится как к положительным, так и к отрицательным числам, за исключением нуля:

\( 12^0 = 1 \), так как любое число, возведенное в степень 0, равно 1.

\( (-6)^0 = 1 \), потому что любое число, возведенное в степень 0, равно 1.

Ответ: \( 12^0 = (-6)^0 \), то есть они равны.

2) Рассмотрим выражения \( 0{,}2^3 \) и \( 0{,}2^{-3} \):

Вычислим каждое из этих выражений:

\( 0{,}2^3 = 0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}008 \).

\( 0{,}2^{-3} = \frac{1}{0{,}2^3} = \frac{1}{0{,}008} = 125 \), так как отрицательная степень означает взятие обратного числа.

Ответ: \( 0{,}2^3 < 0{,}2^{-3} \), то есть \( 0{,}008 < 125 \).

3) Рассмотрим выражения \( 4^6 \) и \( 0{,}25^{-6} \):

Вычислим каждое из этих выражений:

\( 4^6 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4096 \).

\( 0{,}25^{-6} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-6} = 4^6 = 4096 \), так как \( 0{,}25 = \frac{1}{4} \), и при отрицательной степени дроби мы берем обратное число и возводим его в степень.

Ответ: \( 4^6 = 0{,}25^{-6} \), то есть они равны.

4) Рассмотрим выражения \( 3^{-1} \cdot 7^{-1} \) и \( 21^{-1} \):

Вычислим каждое из этих выражений:

\( 3^{-1} = \frac{1}{3} \), \( 7^{-1} = \frac{1}{7} \), таким образом:

\( 3^{-1} \cdot 7^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21} \).

\( 21^{-1} = \frac{1}{21} \).

Ответ: \( 3^{-1} \cdot 7^{-1} = 21^{-1} \), то есть они равны.

5) Рассмотрим выражения \( 5^{-1} — 7^{-1} \) и \( 2^{-1} \):

Вычислим каждое из этих выражений:

\( 5^{-1} = \frac{1}{5} \), \( 7^{-1} = \frac{1}{7} \), таким образом:

\( 5^{-1} — 7^{-1} = \frac{1}{5} — \frac{1}{7} = \frac{7 — 5}{35} = \frac{2}{35} \).

\( 2^{-1} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( 5^{-1} — 7^{-1} < 2^{-1} \), так как \( \frac{2}{35} \approx 0{,}057 \) и \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \).

6) Рассмотрим выражения \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \) и \( \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1} \):

Вычислим каждое из этих выражений:

\( \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 \), \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \), таким образом:

\( \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 3 + 2 = 5 \).

Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1} \):

\( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6} \), и теперь возводим в степень -1:

\( \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \).

Ответ: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} > \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1} \), так как \( 5 > 1{,}2 \).