ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

1) \( 3^{-2} \) и \( (-3)^0 \);

2) \( 3^{-1} + 2^{-1} \) и \( 5^{-1} \);

3) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \) и \( \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2} \).

1) \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9};\quad (-3)^0 = 1. \)

Тогда: \( 3^{-2} < (-3)^0. \)

2) \( 3^{-1} + 2^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} = \frac{25}{30};\quad 5^{-1} = \frac{1}{5} = \frac{6}{30}. \)

Тогда: \( 3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1}. \)

3) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 4^2 — 5^2 = 16 — 25 = -9; \)

\( \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5-4}{20}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{20}\right)^{-2} = 20^2 = 400. \)

Тогда: \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} < \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2}. \)

1) Рассмотрим выражения \( 3^{-2} \) и \( (-3)^0 \):

1.1) Начнем с вычисления \( 3^{-2} \):

По определению отрицательной степени, \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \), таким образом:

\( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).

1.2) Теперь вычислим \( (-3)^0 \):

По свойству степени, любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1, включая отрицательные числа:

\( (-3)^0 = 1 \).

Теперь у нас есть значения:

\( 3^{-2} = \frac{1}{9} \) и \( (-3)^0 = 1 \).

Для сравнения этих чисел заметим, что \( \frac{1}{9} \) — это дробь, которая меньше 1, так как \( 9 > 1 \), и, следовательно, \( \frac{1}{9} < 1 \).

Таким образом, получаем порядок: \( 3^{-2} < (-3)^0 \).

Ответ: \( 3^{-2} < (-3)^0 \).

2) Рассмотрим выражения \( 3^{-1} + 2^{-1} \) и \( 5^{-1} \):

2.1) Начнем с вычисления \( 3^{-1} + 2^{-1} \):

\( 3^{-1} = \frac{1}{3} \) и \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \), таким образом:

\( 3^{-1} + 2^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \).

Для сложения этих дробей, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6:

\( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \) и \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \), следовательно:

\( 3^{-1} + 2^{-1} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \).

2.2) Теперь вычислим \( 5^{-1} \):

\( 5^{-1} = \frac{1}{5} \).

2.3) Теперь сравним \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{1}{5} \):

Для этого нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 — это 30:

\( \frac{5}{6} = \frac{25}{30} \) и \( \frac{1}{5} = \frac{6}{30} \).

Таким образом, \( \frac{25}{30} > \frac{6}{30} \), то есть \( 3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1} \).

Ответ: \( 3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1} \).

3) Рассмотрим выражения \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \) и \( \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2} \):

3.1) Начнем с вычисления \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \):

По определению отрицательной степени, \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \), таким образом:

\( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16 \) и \( \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25 \).

Теперь вычитаем:

\( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 16 — 25 = -9 \).

3.2) Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2} \):

Сначала вычислим \( \frac{1}{4} — \frac{1}{5} \). Для этого нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20:

\( \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \) и \( \frac{1}{5} = \frac{4}{20} \), следовательно:

\( \frac{1}{4} — \frac{1}{5} = \frac{5}{20} — \frac{4}{20} = \frac{1}{20} \).

Теперь возводим \( \frac{1}{20} \) в степень -2:

\( \left(\frac{1}{20}\right)^{-2} = 20^2 = 400 \).

3.3) Теперь у нас есть следующие значения:

\( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = -9 \) и \( \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2} = 400 \).

Теперь сравним их:

\( -9 < 400 \), то есть \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} < \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2} \).

Ответ: \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} < \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right)^{-2} \).