ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби выражение:

1) \( ab^{-1} + a^{-1}b  \)

2) \( 3a^{-1} + ab^{-2}  \)

3) \( m^2n^2(m^{-3} — n^{-3})   \)

4) \( (a + b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1})  \)

5) \( (c^{-2} — d^{-2}) : (c + d)  \)

6) \( (x y^{-2} + x^{-2} y) \cdot \left( \frac{x^2 — x y + y^2}{x} \right)^{-1} \)

1) \( ab^{-1} + a^{-1}b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}; \)

2) \( 3a^{-1} + ab^{-2} = \frac{3}{a} + \frac{a}{b^2} = \frac{3b^2 + a^2}{ab^2}; \)

3) \( m^2n^2(m^{-3} — n^{-3}) = m^2n^2\left(\frac{1}{m^3} — \frac{1}{n^3}\right) = m^2n^2\left(\frac{n^3 — m^3}{m^3n^3}\right) = \)

\( = \frac{m^2n^2(n^3 — m^3)}{m^3n^3} = \frac{n^3 — m^3}{mn}; \)

4) \( (a + b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1}) = \frac{1}{a + b} \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = \frac{1}{a + b} \cdot \frac{b + a}{ab} = \frac{1}{ab}; \)

5) \( (c^{-2} — d^{-2}) : (c + d) = \left(\frac{1}{c^2} — \frac{1}{d^2}\right) \cdot \frac{1}{c + d} = \frac{d^2 — c^2}{c^2d^2} \cdot \frac{1}{c + d} = \)

\( = \frac{(d — c)(d + c)}{c^2d^2 \cdot (c + d)} = \frac{d — c}{c^2d^2}; \)

6) \( (x y^{-2} + x^{-2} y) \cdot \left( \frac{x^2 — x y + y^2}{x} \right)^{-1} = \left( \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \right) \cdot \frac{x}{x^2 — x y + y^2} = \)

\( = \frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2} \cdot \frac{x}{x^2 — x y + y^2} = \frac{(x + y)(x^2 — x y + y^2) \cdot x}{x^2 y^2 \cdot (x^2 — x y + y^2)} = \frac{x + y}{x y^2}.\)

1) \( ab^{-1} + a^{-1}b\)

Для начала, рассмотрим выражение \( ab^{-1} + a^{-1}b \). Чтобы привести его к единому виду, преобразуем каждый член.

Первый член \( ab^{-1} \) можно записать как \( \frac{a}{b} \), так как \( b^{-1} \) — это \( \frac{1}{b} \). Второй член \( a^{-1}b \) можно записать как \( \frac{b}{a} \), так как \( a^{-1} \) — это \( \frac{1}{a} \). Теперь объединяем эти два выражения:

\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \). Для приведения к общему знаменателю умножим числители и знаменатели второго дробного выражения на \( a \), а первого — на \( b \), чтобы получить общий знаменатель \( ab \):

\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}. \)

Таким образом, результат данного выражения будет равен \( \frac{a^2 + b^2}{ab} \).

2) \( 3a^{-1} + ab^{-2} \)

Первый член \( 3a^{-1} \) можно записать как \( \frac{3}{a} \), второй член \( ab^{-2} \) можно записать как \( \frac{a}{b^2} \), так как \( b^{-2} \) — это \( \frac{1}{b^2} \).

Теперь складываем дроби \( \frac{3}{a} \) и \( \frac{a}{b^2} \), приводя их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( ab^2 \). Умножаем числители и знаменатели каждого из дробей на недостающие множители:

\( \frac{3}{a} = \frac{3b^2}{ab^2}, \quad \frac{a}{b^2} = \frac{a^2}{ab^2} \)

Теперь складываем дроби с общим знаменателем:

\( \frac{3b^2 + a^2}{ab^2}. \)

Таким образом, результат данного выражения будет равен \( \frac{3b^2 + a^2}{ab^2} \).

3) \( m^2n^2(m^{-3} — n^{-3})  \)

Для начала, распишем \( m^{-3} — n^{-3} \) как разность дробей: \( \frac{1}{m^3} — \frac{1}{n^3} \). Чтобы привести к общему знаменателю, найдем общий знаменатель \( m^3n^3 \), и преобразуем выражение:

\( \frac{1}{m^3} — \frac{1}{n^3} = \frac{n^3 — m^3}{m^3n^3}. \)

Теперь умножаем это выражение на \( m^2n^2 \), чтобы получить финальный результат:

\( m^2n^2\left( \frac{n^3 — m^3}{m^3n^3} \right) = \frac{m^2n^2(n^3 — m^3)}{m^3n^3}. \)

После упрощения мы получаем итоговое выражение:

\( \frac{n^3 — m^3}{mn}. \)

4) \( (a + b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1}) \)

Для начала, преобразуем выражение \( (a^{-1} + b^{-1}) \) в дробь с общим знаменателем \( ab \), что даст:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}. \)

Теперь умножаем это выражение на \( (a + b)^{-1} \), что даст результат:

\( \frac{1}{a + b} \cdot \frac{b + a}{ab} = \frac{1}{ab}. \)

Таким образом, результат данного выражения равен \( \frac{1}{ab} \).

5) \( (c^{-2} — d^{-2}) : (c + d)  \)

Начнем с того, что \( (c^{-2} — d^{-2}) \) можно переписать как разность дробей:

\( \frac{1}{c^2} — \frac{1}{d^2} = \frac{d^2 — c^2}{c^2d^2}. \)

Теперь умножаем это выражение на \( \frac{1}{c + d} \), получаем:

\( \frac{d^2 — c^2}{c^2d^2} \cdot \frac{1}{c + d} = \frac{(d — c)(d + c)}{c^2d^2 \cdot (c + d)}. \)

После упрощения получаем итоговое выражение:

\( \frac{d — c}{c^2d^2}. \)

6) \( (x y^{-2} + x^{-2} y) \cdot \left( \frac{x^2 — x y + y^2}{x} \right)^{-1}  \)

Начнем с того, что \( (x y^{-2} + x^{-2} y) \) можно записать как:

\( \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}. \)

Теперь умножим это на выражение \( \left( \frac{x^2 — x y + y^2}{x} \right)^{-1} \), что даст:

\( \frac{x}{x^2 — x y + y^2}. \)

Теперь перемножим полученные выражения:

\( \left( \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \right) \cdot \frac{x}{x^2 — x y + y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2} \cdot \frac{x}{x^2 — x y + y^2}. \)

Далее, перемножим все числители и знаменатели:

\( \frac{(x + y)(x^2 — x y + y^2) \cdot x}{x^2 y^2 \cdot (x^2 — x y + y^2)}. \)

После упрощения получаем итоговое выражение:

\( \frac{x + y}{x y^2}. \)