ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби выражение:

1) \( a^{-2} + a^{-3}  \)

2) \( m n^{-4} + m^{-4} n  \)

3) \( (c^{-1} — d^{-1}) \cdot (c — d)^{-2}  \)

4) \( (x^{-2} + y^{-2}) \cdot (x^2 + y^2)^{-1}  \)

1) \( a^{-2} + a^{-3} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = \frac{a + 1}{a^3}; \)

2) \( m n^{-4} + m^{-4} n = \frac{m}{n^4} + \frac{n}{m^4} = \frac{m^5 + n^5}{m^4 n^4}; \)

3) \( (c^{-1} — d^{-1}) \cdot (c — d)^{-2} = \left(\frac{1}{c} — \frac{1}{d}\right) \cdot \frac{1}{(c — d)^2} = \frac{d — c}{c d} \cdot \frac{1}{(c — d)^2} = \)

\( = \frac{(d — c)}{c d \cdot (d — c)^2} = \frac{1}{c d (d — c)}; \)

4) \( (x^{-2} + y^{-2}) \cdot (x^2 + y^2)^{-1} = \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right) \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} = \)

\( = \frac{y^2 + x^2}{x^2 y^2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2 y^2}. \)

1) \( a^{-2} + a^{-3}  \)

Для того, чтобы сложить дроби \( \frac{1}{a^2} \) и \( \frac{1}{a^3} \), нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих дробей — это \( a^3 \), так как наибольший из степеней \( a \) равен 3. Преобразуем обе дроби:

\( \frac{1}{a^2} = \frac{a}{a^3} \quad \text{и} \quad \frac{1}{a^3} = \frac{1}{a^3}. \)

Теперь складываем дроби:

\( \frac{a}{a^3} + \frac{1}{a^3} = \frac{a + 1}{a^3}. \)

Таким образом, результат сложения этих дробей равен \( \frac{a + 1}{a^3} \).

2) \( m n^{-4} + m^{-4} n \)

Здесь выражение \( m n^{-4} \) можно записать как \( \frac{m}{n^4} \), а \( m^{-4} n \) как \( \frac{n}{m^4} \). Теперь нам нужно сложить эти две дроби.

Общий знаменатель для этих дробей — \( m^4 n^4 \). Преобразуем каждую дробь:

\( \frac{m}{n^4} = \frac{m^5}{m^4 n^4} \quad \text{и} \quad \frac{n}{m^4} = \frac{n^5}{m^4 n^4}. \)

Теперь складываем дроби:

\( \frac{m^5}{m^4 n^4} + \frac{n^5}{m^4 n^4} = \frac{m^5 + n^5}{m^4 n^4}. \)

Таким образом, результат сложения этих дробей равен \( \frac{m^5 + n^5}{m^4 n^4} \).

3) \( (c^{-1} — d^{-1}) \cdot (c — d)^{-2}  \)

Начнем с выражения \( \left( \frac{1}{c} — \frac{1}{d} \right) \). Преобразуем его, используя общий знаменатель \( cd \):

\( \frac{1}{c} — \frac{1}{d} = \frac{d — c}{cd}. \)

Теперь умножаем на \( \frac{1}{(c — d)^2} \):

\( \frac{d — c}{cd} \cdot \frac{1}{(c — d)^2} = \frac{(d — c)}{cd \cdot (c — d)^2}. \)

Мы видим, что в числителе и знаменателе встречаются одинаковые множители \( (d — c) \), которые можно сократить:

\( \frac{(d — c)}{cd \cdot (d — c)^2} = \frac{1}{cd (d — c)}. \)

Таким образом, результат выражения равен \( \frac{1}{cd (d — c)} \).

4) \( (x^{-2} + y^{-2}) \cdot (x^2 + y^2)^{-1} \)

Рассмотрим выражение \( \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right) \). Приводим его к общему знаменателю \( x^2 y^2 \):

\( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 + x^2}{x^2 y^2}. \)

Теперь умножаем это выражение на \( \frac{1}{x^2 + y^2} \):

\( \frac{y^2 + x^2}{x^2 y^2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2 y^2}. \)

Таким образом, результат этого выражения равен \( \frac{1}{x^2 y^2} \).