ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом \( n \in \mathbb{Z}; \):

1) если \( a > 0 \), то \( a^n > 0 \);

2) если \( a < 0 \), то \( a^n > 0 \) при четном \( n \) и \( a^n < 0 \) при нечетном \( n \).

\( n \in \mathbb{Z}; \)

1) если \( a > 0 \), то \( a^n > 0 \);
\( a > 0 \iff a = |a| \iff a^n = |a|^n > 0 \iff \) что и требовалось доказать.

2) если \( a < 0 \), то \( a^n > 0 \) при четном \( n \) и \( a^n < 0 \) при нечетном \( n \);

a) при четном \( n \) (\( n = 2k \)):
\( a < 0 \iff a = -|a| \iff a^n = (-1)^n \cdot |a|^n \iff (-1)^{2k} \cdot |a|^{2k} \iff \) \( \iff 1 \cdot |a|^{2k} \iff |a|^n > 0 \iff \) что и требовалось доказать.

б) при нечетном \( n \) (\( n = 2k + 1 \)):
\( a < 0 \iff a = -|a| \iff a^n = (-1)^n \cdot |a|^n \iff (-1)^{2k+1} \cdot |a|^{2k+1} \iff \)
\( \iff -1 \cdot |a|^{2k} \iff -|a|^n < 0 \iff \) что и требовалось доказать.

Докажем, что при любом \( n \in \mathbb{Z} \):

1) если \( a > 0 \), то \( a^n > 0 \);

Пусть \( a > 0 \). Рассмотрим два случая:

1) \( n \geq 0 \). В этом случае \( a^n \) представляет собой произведение \( a \) само на себя \( n \) раз. Так как \( a > 0 \), то любое положительное число в любой степени будет также положительным:

\( a^n > 0 \) для всех \( n \geq 0 \).

2) \( n < 0 \). В этом случае \( a^n = \frac{1}{a^{-n}} \), где \( -n > 0 \). Мы знаем, что \( a^{-n} > 0 \), так как \( a > 0 \) и степень положительного числа остается положительной. Следовательно:

\( a^n = \frac{1}{a^{-n}} > 0 \) для всех \( n < 0 \).

Таким образом, при любом \( n \in \mathbb{Z} \), если \( a > 0 \), то \( a^n > 0 \). Это и требовалось доказать.

2) если \( a < 0 \), то \( a^n > 0 \) при четном \( n \) и \( a^n < 0 \) при нечетном \( n \);

Пусть \( a < 0 \). Рассмотрим два случая:

a) при четном \( n \) (\( n = 2k \)):
Если \( n = 2k \), то \( a^n = a^{2k} \). Поскольку \( a < 0 \), мы можем записать \( a = -|a| \), то есть \( a^n = (-|a|)^{2k} \). Так как степень четная, \( (-1)^{2k} = 1 \), и получаем:

\( a^n = |a|^{2k} > 0 \). Таким образом, при четном \( n \), если \( a < 0 \), то \( a^n > 0 \).

б) при нечетном \( n \) (\( n = 2k + 1 \)):
Если \( n = 2k + 1 \), то \( a^n = a^{2k+1} \). Поскольку \( a = -|a| \), то \( a^n = (-|a|)^{2k+1} = (-1)^{2k+1} \cdot |a|^{2k+1} \). Так как степень нечетная, \( (-1)^{2k+1} = -1 \), и получаем:

\( a^n = -|a|^{2k+1} < 0 \). Таким образом, при нечетном \( n \), если \( a < 0 \), то \( a^n < 0 \).

Таким образом, если \( a < 0 \), то \( a^n > 0 \) при четном \( n \) и \( a^n < 0 \) при нечетном \( n \). Это и требовалось доказать.