ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Верно ли неравенство \( a^n > a^{-n} \), если:

1) \( a > 1, n \in \mathbb{N}\)

2) \( 0 < a < 1, n \in \mathbb{N}  \)

\( a^n > a^{-n} \), если:

1) \( a > 1, n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \) верно.
Например, при \( a = 2 \) и \( n = 2 \):
\( 2^2 > 2^{-2} \iff 4 > \frac{1}{2^2} \iff 4 > \frac{1}{4} \iff \) верно.

2) \( 0 < a < 1, n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \) неверно. Например, при \( a = \frac{1}{10} \) и \( n = 2 \): \( \left(\frac{1}{10}\right)^2 > \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} \iff \frac{1}{100} > 10^2 \iff 0{,}01 > 100 \iff \) неверно.

Докажем, верно ли неравенство \( a^n > a^{-n} \), если:

1) \( a > 1, n \in \mathbb{N} \);

Пусть \( a > 1 \) и \( n \in \mathbb{N} \). Рассмотрим неравенство \( a^n > a^{-n} \). Для начала перепишем его в более удобной форме:

\( a^n > a^{-n} \iff a^n > \frac{1}{a^n} \).

Теперь умножим обе части неравенства на \( a^n \), что возможно, так как \( a > 1 \) и \( a^n > 0 \) для любого \( n \in \mathbb{N} \):

\( a^n \cdot a^n > a^n \cdot \frac{1}{a^n} \iff a^{2n} > 1 \).

Так как \( a > 1 \), то \( a^{2n} > 1 \) для любого \( n \in \mathbb{N} \). Следовательно, неравенство \( a^n > a^{-n} \) верно.

Таким образом, если \( a > 1 \) и \( n \in \mathbb{N} \), то неравенство \( a^n > a^{-n} \) верно. Это и требовалось доказать.

2) \( 0 < a < 1, n \in \mathbb{N} \);

Теперь рассмотрим случай, когда \( 0 < a < 1 \) и \( n \in \mathbb{N} \). Рассмотрим снова неравенство \( a^n > a^{-n} \). Перепишем его, как и в предыдущем случае:

\( a^n > a^{-n} \iff a^n > \frac{1}{a^n} \).

Умножим обе части на \( a^n \) (так как \( 0 < a < 1 \), \( a^n > 0 \)):

\( a^n \cdot a^n > a^n \cdot \frac{1}{a^n} \iff a^{2n} > 1 \).

Однако, так как \( 0 < a < 1 \), то \( a^{2n} < 1 \) для любого \( n \in \mathbb{N} \), потому что степень числа, меньшего 1, остается меньше 1. Следовательно:

\( a^{2n} < 1 \), и неравенство \( a^n > a^{-n} \) не выполняется.

Таким образом, если \( 0 < a < 1 \) и \( n \in \mathbb{N} \), то неравенство \( a^n > a^{-n} \) неверно. Это и требовалось доказать.