ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Можно ли утверждать, что при любом натуральном n значение выражения (5n + 6,5)² — (2n + 0,5)² кратно 42?

\( (5n + 6{,}5)^2 — (2n + 0{,}5)^2 = \bigl(5n + 6{,}5 — (2n + 0{,}5)\bigr) \cdot\)

\(\cdot \bigl(5n + 6{,}5 + (2n + 0{,}5)\bigr) = \)

\( = (5n + 6{,}5 — 2n — 0{,}5) \cdot (5n + 6{,}5 + 2n + 0{,}5) = (3n + 6)(7n + 7) = \)

\( = 3 \cdot 7 (n + 2)(n + 1) = 21(n + 2)(n + 1). \)

Числа \( (n + 1) \) и \( (n + 2) \) являются последовательными, значит, одно из них точно чётное. Произведение числа 21 и чётного числа будет кратно 42.

Следовательно, можно утверждать, что при любом натуральном \( n \) значение данного выражения кратно 42.

Необходимо выяснить, можно ли утверждать, что выражение \( (5n + 6{,}5)^2 — (2n + 0{,}5)^2 \) при любом натуральном \( n \) будет кратно 42.

Начнем с разложения выражения в правой части:

Используем формулу разности квадратов:

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \),

где \( a = 5n + 6{,}5 \) и \( b = 2n + 0{,}5 \). Подставим эти значения в формулу:

\( (5n + 6{,}5)^2 — (2n + 0{,}5)^2 = \bigl(5n + 6{,}5 — (2n + 0{,}5)\bigr) \cdot \bigl(5n + 6{,}5 +\)

\(+ (2n + 0{,}5)\bigr). \)

Теперь вычислим каждое из выражений в скобках:

Первое выражение: \( 5n + 6{,}5 — (2n + 0{,}5) = 5n + 6{,}5 — 2n — 0{,}5 = 3n + 6 \).

Второе выражение: \( 5n + 6{,}5 + (2n + 0{,}5) = 5n + 6{,}5 + 2n + 0{,}5 = 7n + 7 \).

Теперь можем переписать выражение как произведение:

\( = (3n + 6)(7n + 7). \)

Далее можно вынести общий множитель из каждого из факторов:

\( = 3 \cdot 7 \cdot (n + 2)(n + 1). \)

Это выражение можно упростить до:

\( = 21(n + 2)(n + 1). \)

Теперь рассмотрим множители \( (n + 1) \) и \( (n + 2) \). Эти два числа — последовательные, и одно из них обязательно будет четным, так как любые два последовательных числа одно из которых обязательно делится на 2.

Таким образом, произведение \( 21 \cdot (n + 2)(n + 1) \) обязательно будет делиться на 42, так как 21 уже делится на 3, а одно из чисел \( (n + 1) \) или \( (n + 2) \) будет четным, то есть делится на 2.

Следовательно, можно утверждать, что для любого натурального \( n \) выражение \( (5n + 6{,}5)^2 — (2n + 0{,}5)^2 \) всегда будет кратно 42.