ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( 9^5 \cdot 9^{-7} \)

2) \( 10^{-8} \cdot 10^{12}  \)

3) \( 3^{-18} : 3^{-21}  \)

4) \( 2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22}  \)

5) \( (17^4)^{-12} \cdot (17^{-6})^{-8}  \)

6) \( \frac{6^{-5} \cdot (6^{-3})^4}{(6^{-7})^2 \cdot 6^{-3}}  \)

7) \( 3^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}  \)

8) \( \frac{14^{-5}}{7^{-5}}  \)

1) \( 9^5 \cdot 9^{-7} = 9^{5+(-7)} = 9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}; \)

2) \( 10^{-8} \cdot 10^{12} = 10^{-8+12} = 10^4 = 10\,000; \)

3) \( 3^{-18} : 3^{-21} = 3^{-18-(-21)} = 3^3 = 27; \)

4) \( 2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22} = 2^{-9+(-12)-(-22)} = 2^1 = 2; \)

5) \( (17^4)^{-12} \cdot (17^{-6})^{-8} = 17^{-48} \cdot 17^{48} = 17^0 = 1; \)

6) \( \frac{6^{-5} \cdot (6^{-3})^4}{(6^{-7})^2 \cdot 6^{-3}} = \frac{6^{-5} \cdot 6^{-12}}{6^{-14} \cdot 6^{-3}} = \frac{6^{-17}}{6^{-17}} = 1; \)

7) \( 3^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = 3^{-3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^{-3} \cdot 3^3}{2^3} = \frac{3^0}{2^3} = \frac{1}{8}; \)

8) \( \frac{14^{-5}}{7^{-5}} = \frac{(2 \cdot 7)^{-5}}{7^{-5}} = \frac{2^{-5} \cdot 7^{-5}}{7^{-5}} = 2^{-5} \cdot 1 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}. \)

1) \( 9^5 \cdot 9^{-7} = 9^{5+(-7)} = 9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}; \)

Сначала используем правило для умножения чисел с одинаковым основанием: при умножении степени с одинаковым основанием показатели степеней складываются. Поэтому, мы можем переписать \( 9^5 \cdot 9^{-7} \) как \( 9^{5 + (-7)} = 9^{-2} \).

Далее, применяя свойство степени с отрицательным показателем, мы знаем, что \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), поэтому \( 9^{-2} = \frac{1}{9^2} \). Следовательно, \( 9^2 = 81 \), и в итоге получаем \( \frac{1}{81} \).

2) \( 10^{-8} \cdot 10^{12} = 10^{-8+12} = 10^4 = 10\,000; \)

Сначала применяем тот же принцип: при умножении чисел с одинаковым основанием степени складываются. То есть, \( 10^{-8} \cdot 10^{12} = 10^{-8 + 12} = 10^4 \).

Теперь вычисляем \( 10^4 = 10\,000 \), и получаем конечный результат \( 10\,000 \).

3) \( 3^{-18} : 3^{-21} = 3^{-18-(-21)} = 3^3 = 27; \)

При делении чисел с одинаковым основанием степени вычитаются. То есть, \( 3^{-18} : 3^{-21} = 3^{-18 — (-21)} = 3^{-18 + 21} = 3^3 \).

Теперь вычисляем \( 3^3 = 27 \), и получаем конечный результат \( 27 \).

4) \( 2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22} = 2^{-9+(-12)-(-22)} = 2^1 = 2; \)

Сначала мы начинаем с умножения: \( 2^{-9} \cdot 2^{-12} = 2^{-9 + (-12)} = 2^{-21} \).

Затем делаем деление: \( 2^{-21} : 2^{-22} = 2^{-21 — (-22)} = 2^{-21 + 22} = 2^1 \). В итоге \( 2^1 = 2 \), и конечный результат — \( 2 \).

5) \( (17^4)^{-12} \cdot (17^{-6})^{-8} = 17^{-48} \cdot 17^{48} = 17^0 = 1; \)

Сначала раскрываем степени внутри скобок. Для первого выражения \( (17^4)^{-12} = 17^{4 \cdot (-12)} = 17^{-48} \), а для второго выражения \( (17^{-6})^{-8} = 17^{-6 \cdot (-8)} = 17^{48} \).

Теперь перемножаем: \( 17^{-48} \cdot 17^{48} = 17^{(-48 + 48)} = 17^0 \). Согласно правилам степеней, \( a^0 = 1 \), поэтому результат равен \( 1 \).

6) \( \frac{6^{-5} \cdot (6^{-3})^4}{(6^{-7})^2 \cdot 6^{-3}} = \frac{6^{-5} \cdot 6^{-12}}{6^{-14} \cdot 6^{-3}} = \frac{6^{-17}}{6^{-17}} = 1; \)

Раскрываем степени внутри скобок: \( (6^{-3})^4 = 6^{-3 \cdot 4} = 6^{-12} \) и \( (6^{-7})^2 = 6^{-7 \cdot 2} = 6^{-14} \). Теперь подставляем эти значения в выражение: \( \frac{6^{-5} \cdot 6^{-12}}{6^{-14} \cdot 6^{-3}} \).

При умножении чисел с одинаковым основанием показатели складываются: \( 6^{-5} \cdot 6^{-12} = 6^{-17} \) и \( 6^{-14} \cdot 6^{-3} = 6^{-17} \). Теперь делим: \( \frac{6^{-17}}{6^{-17}} = 1 \), так как любое число, деленное на себя, равно 1.

7) \( 3^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = 3^{-3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^{-3} \cdot 3^3}{2^3} = \frac{3^0}{2^3} = \frac{1}{8}; \)

Сначала раскрываем степень в дроби: \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 \). Теперь подставляем это выражение: \( 3^{-3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^{-3} \cdot 3^3}{2^3} \).

При умножении чисел с одинаковым основанием степени складываются: \( 3^{-3} \cdot 3^3 = 3^0 = 1 \). Далее, делим на \( 2^3 = 8 \), и получаем \( \frac{1}{8} \).

8) \( \frac{14^{-5}}{7^{-5}} = \frac{(2 \cdot 7)^{-5}}{7^{-5}} = \frac{2^{-5} \cdot 7^{-5}}{7^{-5}} = 2^{-5} \cdot 1 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}. \)

Сначала раскроем выражение для \( 14^{-5} \): \( 14^{-5} = (2 \cdot 7)^{-5} = 2^{-5} \cdot 7^{-5} \). Теперь подставляем это в исходное выражение: \( \frac{2^{-5} \cdot 7^{-5}}{7^{-5}} \).

При делении степени с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{7^{-5}}{7^{-5}} = 1 \), и остаемся с \( 2^{-5} \). В итоге получаем \( 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \).