ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения выражение:

1) \( a^{-2} — 4 \)

2) \( a^{-4}b^{-6} — 1 \)

3) \( 25x^{-8}y^{-12} — z^{-2} \)

4) \( a^{-3} + b^{-3} \)

5) \( m^{-4} — 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2} \)

6) \( a^{-8} — 49a^{-2} \)

1) \( a^{-2} — 4 = (a^{-1} — 2)(a^{-1} + 2); \)

2) \( a^{-4}b^{-6} — 1 = (a^{-2}b^{-3} — 1)(a^{-2}b^{-3} + 1); \)

3) \( 25x^{-8}y^{-12} — z^{-2} = (5x^{-4}y^{-6} — z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1}); \)

4) \( a^{-3} + b^{-3} = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} — a^{-1}b^{-1} + b^{-2}); \)

5) \( m^{-4} — 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2} = (m^{-2} — 3p^{-1})^2; \)

6) \( a^{-8} — 49a^{-2} = a^{-8}(1 — 49a^6) = a^{-8}(1 — 7a^3)(1 + 7a^3). \)

1) \( a^{-2} — 4 \)

Рассмотрим выражение: \( a^{-2} — 4 \)

Первый шаг: выражение можно представить как разность квадратов. Для этого перепишем 4 как \( 2^2 \):

\( a^{-2} — 2^2 \)

Теперь применим формулу разности квадратов \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \), где \( x = a^{-1} \) и \( y = 2 \). Таким образом, выражение можно переписать как:

\( (a^{-1} — 2)(a^{-1} + 2) \)

Ответ: \( (a^{-1} — 2)(a^{-1} + 2) \).

2) \( a^{-4}b^{-6} — 1 \)

Рассмотрим выражение: \( a^{-4}b^{-6} — 1 \)

Первый шаг: опять используем разность квадратов. Мы можем переписать 1 как \( 1^2 \):

\( a^{-4}b^{-6} — 1^2 \)

Теперь применим формулу разности квадратов, где \( x = a^{-2}b^{-3} \) и \( y = 1 \). Получаем:

\( (a^{-2}b^{-3} — 1)(a^{-2}b^{-3} + 1) \)

Ответ: \( (a^{-2}b^{-3} — 1)(a^{-2}b^{-3} + 1) \).

3) \( 25x^{-8}y^{-12} — z^{-2} \)

Рассмотрим выражение: \( 25x^{-8}y^{-12} — z^{-2} \)

Первый шаг: снова используем разность квадратов. Заметим, что \( 25x^{-8}y^{-12} \) можно записать как \( (5x^{-4}y^{-6})^2 \), а \( z^{-2} \) — как \( (z^{-1})^2 \). Таким образом, применяем разность квадратов:

\( (5x^{-4}y^{-6} — z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1}) \)

Ответ: \( (5x^{-4}y^{-6} — z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1}) \).

4) \( a^{-3} + b^{-3} \)

Рассмотрим выражение: \( a^{-3} + b^{-3} \)

Мы можем воспользоваться формулой суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \), где \( x = a^{-1} \) и \( y = b^{-1} \). Таким образом, выражение можно представить как:

\( (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} — a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) \)

Ответ: \( (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} — a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) \).

5) \( m^{-4} — 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2} \)

Рассмотрим выражение: \( m^{-4} — 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2} \)

Первый шаг: заметим, что выражение — это полный квадрат, который можно представить как \( (m^{-2} — 3p^{-1})^2 \). Таким образом, мы получаем:

\( (m^{-2} — 3p^{-1})^2 \)

Ответ: \( (m^{-2} — 3p^{-1})^2 \).

6) \( a^{-8} — 49a^{-2} \)

Рассмотрим выражение: \( a^{-8} — 49a^{-2} \)

Первый шаг: вынесем за скобки общий множитель \( a^{-8} \), получив:

\( a^{-8}(1 — 49a^6) \)

Теперь заметим, что \( 1 — 49a^6 \) — это разность квадратов, которую можно представить как:

\( (1 — 7a^3)(1 + 7a^3) \)

Таким образом, полное выражение будет:

\( a^{-8}(1 — 7a^3)(1 + 7a^3) \)

Ответ: \( a^{-8}(1 — 7a^3)(1 + 7a^3) \).