ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения выражение:

1) \( x^{-4} — 25 \)

2) \( m^{-6} — 8n^{-3} \)

3) \( a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14} \)

4) \( a^{-4} — a^{-2} \)

1) \( x^{-4} — 25 = (x^{-2} — 5)(x^{-2} + 5); \)

2) \( m^{-6} — 8n^{-3} = (m^{-2} — 2n^{-1})(m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2}); \)

3) \( a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14} = (a^{-5} + 4b^{-7})^2; \)

4) \( a^{-4} — a^{-2} = a^{-4}(1 — a^2) = a^{-4}(1 — a)(1 + a). \)

1) \( x^{-4} — 25 \)

Рассмотрим выражение: \( x^{-4} — 25 \)

Первый шаг: выражение можно представить как разность квадратов. Для этого перепишем 25 как \( 5^2 \):

\( x^{-4} — 5^2 \)

Теперь применим формулу разности квадратов \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \), где \( x = x^{-2} \) и \( y = 5 \). Таким образом, выражение можно переписать как:

\( (x^{-2} — 5)(x^{-2} + 5) \)

Ответ: \( (x^{-2} — 5)(x^{-2} + 5) \).

2) \( m^{-6} — 8n^{-3} \)

Рассмотрим выражение: \( m^{-6} — 8n^{-3} \)

Мы можем вынести общий множитель из выражения. Заметим, что \( m^{-6} \) можно записать как \( m^{-2} \cdot m^{-4} \), а \( 8n^{-3} \) как \( 2n^{-1} \cdot 4n^{-2} \).

Таким образом, выражение можно представить как:

\( (m^{-2} — 2n^{-1}) \cdot (m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2}) \)

Ответ: \( (m^{-2} — 2n^{-1})(m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2}) \).

3) \( a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14} \)

Рассмотрим выражение: \( a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14} \)

Заметим, что это полное квадратное выражение. Мы можем представить его в виде квадрата суммы:

\( (a^{-5} + 4b^{-7})^2 \)

Ответ: \( (a^{-5} + 4b^{-7})^2 \).

4) \( a^{-4} — a^{-2} \)

Рассмотрим выражение: \( a^{-4} — a^{-2} \)

Первый шаг: вынесем за скобки общий множитель \( a^{-4} \), получим:

\( a^{-4}(1 — a^2) \)

Теперь заметим, что \( 1 — a^2 \) можно представить как разность квадратов, а именно \( 1 — a^2 = (1 — a)(1 + a) \). Таким образом, выражение будет выглядеть следующим образом:

\( a^{-4}(1 — a)(1 + a) \)

Ответ: \( a^{-4}(1 — a)(1 + a) \).