ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( (a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2 \)

2) \( \frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}} \)

3) \( \frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} — 3x^{-1}y^{-1}} — \frac{x^{-1}}{x^{-1} — y^{-1}} \)

4) \( \frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}} \)

1) \( (a^{-4} + 3)(a^{-4} — 3) — (a^{-4} + 2)^2 = a^{-8} — 9 — (a^{-8} + 4a^{-4} + 4) = \)

\( = a^{-8} — 9 — a^{-8} — 4a^{-4} — 4 = -4a^{-4} — 13; \)

2) \( \frac{m^{-2} — n^{-2}}{m^{-1} + n^{-1}} = \frac{(m^{-1} — n^{-1})(m^{-1} + n^{-1})}{m^{-1} + n^{-1}} = m^{-1} — n^{-1}; \)

3) \( \frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} — 3x^{-1}y^{-1}} — \frac{x^{-1}}{x^{-1} — y^{-1}} = \frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-1}(x^{-1} — y^{-1})} — \frac{x^{-1}}{x^{-1} — y^{-1}} = \)

\( = \frac{2x^{-2} + y^{-2} — 3x^{-2}}{3x^{-1}(x^{-1} — y^{-1})} = \frac{-x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-1}(x^{-1} — y^{-1})} = \frac{-(x^{-1} — y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})}{3x^{-1}(x^{-1} — y^{-1})} = \)

\( = \frac{-(x^{-1} + y^{-1})}{3x^{-1}} = -\frac{x^{-1} + y^{-1}}{3x^{-1}}; \)

4) \( \frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}} = \frac{(a^{-5} + b^{-5}) \cdot a^{-4}}{a^{-6} \cdot a^{-3}(b^{-5} + a^{-5})} = \frac{a^{-4}}{a^{-9}} = a^{5}. \)

1) \( (a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2 \)

Рассмотрим первое выражение: \( (a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2 \)

Шаг 1: Используем формулу разности квадратов для первого множителя. Формула разности квадратов: \( (x + y)(x — y) = x^2 — y^2 \), где \( x = a^{-4} \) и \( y = 3 \). Таким образом, получаем:

\( (a^{-4}+3)(a^{-4}-3) = a^{-8} — 9 \)

Шаг 2: Теперь рассмотрим второй множитель \( (a^{-4}+2)^2 \). Это квадрат суммы, применим формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где \( x = a^{-4} \) и \( y = 2 \). Получаем:

\( (a^{-4}+2)^2 = a^{-8} + 4a^{-4} + 4 \)

Шаг 3: Подставляем результаты в исходное выражение:

\( (a^{-4}+3)(a^{-4}-3) — (a^{-4}+2)^2 = a^{-8} — 9 — (a^{-8} + 4a^{-4} + 4) \)

Шаг 4: Упрощаем:

\( a^{-8} — 9 — a^{-8} — 4a^{-4} — 4 = -4a^{-4} — 13 \)

Ответ: \( -4a^{-4} — 13 \)

2) \( \frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}} \)

Рассмотрим выражение: \( \frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}} \)

Шаг 1: Для числителя используем разность квадратов: \( m^{-2}-n^{-2} = (m^{-1} — n^{-1})(m^{-1} + n^{-1}) \).

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение:

\( \frac{(m^{-1} — n^{-1})(m^{-1} + n^{-1})}{m^{-1} + n^{-1}} \)

Шаг 3: Сокращаем \( m^{-1} + n^{-1} \) в числителе и знаменателе, получаем:

\( m^{-1} — n^{-1} \)

Ответ: \( m^{-1} — n^{-1} \)

3) \( \frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} — 3x^{-1}y^{-1}} — \frac{x^{-1}}{x^{-1} — y^{-1}} \)

Рассмотрим выражение: \( \frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} — 3x^{-1}y^{-1}} — \frac{x^{-1}}{x^{-1} — y^{-1}} \)

Шаг 1: Для удобства выделим общий множитель \( 3 \) в знаменателе первого дробного выражения:

\( \frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3(x^{-2} — x^{-1}y^{-1})} \)

Шаг 2: Теперь рассмотрим второе выражение \( \frac{x^{-1}}{x^{-1} — y^{-1}} \). Приведём его к общему знаменателю:

\( \frac{x^{-1}}{x^{-1} — y^{-1}} = \frac{x^{-1}}{x^{-1}(1 — x^{-1}y^{-1})} = \frac{1}{1 — x^{-1}y^{-1}} \)

Шаг 3: После этого сложим выражения. Приведём их к общему знаменателю, упрощаем и получаем:

\( \frac{-(x^{-1} + y^{-1})}{3x^{-1}} \)

Ответ: \( -\frac{x^{-1} + y^{-1}}{3x^{-1}} \)

4) \( \frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}} \)

Рассмотрим выражение: \( \frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}} \)

Шаг 1: Перепишем деление как умножение на обратную величину:

\( \frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}} \)

Шаг 2: Умножаем числители и знаменатели. Для числителя: \( (a^{-5} + b^{-5}) \cdot a^{-4} = a^{-4}(a^{-5} + b^{-5}) \). Для знаменателя: \( a^{-6} \cdot a^{-3} = a^{-9} \).

Шаг 3: Упрощаем:

\( \frac{a^{-4}(a^{-5} + b^{-5})}{a^{-9} \cdot (b^{-5} + a^{-5})} = \frac{a^{-4}}{a^{-9}} = a^5 \)

Ответ: \( a^5 \)