ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( 5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3 \)

2) \( \frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7} \)

3) \( 0{,}8^{-4} \cdot \left(1 \frac{1}{4}\right)^{-4} \)

4) \( \frac{11^{-2}}{22^{-2}} \)

1) \( 5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3 = 5^{-7 — (-6) + 3} = 5^2 = 25; \)

2) \( \frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7} = \frac{4^{-7} \cdot 4^{-15}}{4^{-21}} = \frac{4^{-22}}{4^{-21}} = 4^{-1} = \frac{1}{4}; \)

3) \( 0{,}8^{-4} \cdot \left(1\frac{1}{4}\right)^{-4} = (0{,}2 \cdot 4)^{-4} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{-4} = (0{,}2^{-4} \cdot 4^{-4}) \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 = \)

\( = \frac{0{,}2^{-4} \cdot 4^{-4} \cdot 4^4}{5^4} = \frac{0{,}2^{-4}}{5^4} = \frac{1}{0{,}2^4 \cdot 5^4} = \frac{1}{(0{,}2 \cdot 5)^4} = \frac{1}{1^4} = \frac{1}{1} = 1; \)

4) \( \frac{11^{-2}}{22^{-2}} = \frac{11^{-2}}{(2 \cdot 11)^{-2}} = \frac{11^{-2}}{2^{-2} \cdot 11^{-2}} = 2^2 \cdot 11^0 = 4 \cdot 1 = 4. \)

1) \( 5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3 \)

Применим правило для деления степеней с одинаковым основанием: \( a^m : a^n = a^{m — n} \). Здесь основание одно и то же, значит, при делении степени с одинаковым основанием показатели вычитаются. Мы имеем:

\( 5^{-7} : 5^{-6} = 5^{-7 — (-6)} = 5^{-7 + 6} = 5^{-1} \)

Теперь умножим это на \( 5^3 \):

\( 5^{-1} \cdot 5^3 = 5^{-1 + 3} = 5^2 \)

Вычисляем \( 5^2 = 25 \). Итак, итоговый результат: \( 25 \).

Ответ: \( 25 \)

2) \( \frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7} \)

Начнем с раскрытия степеней в числителе и знаменателе:

\( (4^{-5})^3 = 4^{-5 \cdot 3} = 4^{-15} \)

\( (4^{-3})^7 = 4^{-3 \cdot 7} = 4^{-21} \)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\( \frac{4^{-7} \cdot 4^{-15}}{4^{-21}} \)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, поэтому числитель станет:

\( 4^{-7} \cdot 4^{-15} = 4^{-7 + (-15)} = 4^{-22} \)

Теперь делим: \( \frac{4^{-22}}{4^{-21}} \). При делении показатели вычитаются:

\( 4^{-22} : 4^{-21} = 4^{-22 — (-21)} = 4^{-22 + 21} = 4^{-1} \)

Результат: \( 4^{-1} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \( \frac{1}{4} \)

3) \( 0{,}8^{-4} \cdot \left(1 \frac{1}{4}\right)^{-4} \)

Сначала преобразуем \( 0{,}8 \) и \( 1 \frac{1}{4} \) в дроби. \( 0{,}8 = \frac{4}{5} \), а \( 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \).

Теперь подставим эти значения в выражение:

\( \left( \frac{4}{5} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^{-4} \)

Применяя правило для степеней дробей \( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n} \), получаем:

\( \left( \frac{4}{5} \right)^{-4} = \frac{5^4}{4^4} \) и \( \left( \frac{5}{4} \right)^{-4} = \frac{4^4}{5^4} \).

Теперь умножаем эти выражения:

\( \frac{5^4}{4^4} \cdot \frac{4^4}{5^4} = \frac{5^4 \cdot 4^4}{4^4 \cdot 5^4} = 1 \)

Итак, итоговый результат: \( 1 \).

Ответ: \( 1 \)

4) \( \frac{11^{-2}}{22^{-2}} \)

Сначала представим \( 22 \) как произведение \( 2 \cdot 11 \), тогда \( 22^{-2} = (2 \cdot 11)^{-2} = 2^{-2} \cdot 11^{-2} \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \frac{11^{-2}}{2^{-2} \cdot 11^{-2}} \)

При делении степени с одинаковым основанием показатели вычитаются, \( \frac{11^{-2}}{11^{-2}} = 1 \), и остаемся с:

\( \frac{1}{2^{-2}} = 2^2 = 4 \)

Итак, итоговый результат: \( 4 \).

Ответ: \( 4 \)