ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( (x^{-2} — 1)^2 — (x^{-2} — 4)(x^{-2} + 4) \)

2) \( \frac{a^{-2} — 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} — 5b^{-1}} \)

3) \( \frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} — \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}} \)

4) \( \frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}} \)

1) \( (x^{-2} — 1)^2 — (x^{-2} — 4)(x^{-2} + 4) = x^{-4} — 2x^{-2} + 1 — x^{-4} + 16 = \)

\( = 17 — 2x^{-2}; \)

2) \( \frac{a^{-2} — 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} — 5b^{-1}} = \frac{(a^{-1} — 5b^{-1})^2}{a^{-1} — 5b^{-1}} = a^{-1} — 5b^{-1}; \)

3) \( \frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} — \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}} = \frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} — \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}} = \)

\( = \frac{5m^{-2} + n^{-2} — 4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} = \frac{m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} = \frac{1}{4m^{-1}} = \frac{m}{4}; \)

4) \( \frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}} = \frac{(b^{-1} + 3c^{-1}) \cdot bc}{c^{-2} \cdot b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})} = \)

\( = \frac{bc}{b^{-1}c^{-3}} = b^{2}c^{4}. \)

1) Упростим выражение \( (x^{-2} — 1)^2 — (x^{-2} — 4)(x^{-2} + 4) \).

Сначала раскроем квадрат первого множителя:
\(
(x^{-2} — 1)^2 = (x^{-2})^2 — 2(x^{-2})(1) + 1^2 = x^{-4} — 2x^{-2} + 1.
\)

Теперь раскроем второй множитель, используя разность квадратов:
\(
(x^{-2} — 4)(x^{-2} + 4) = (x^{-2})^2 — 4^2 = x^{-4} — 16.
\)

Теперь подставим эти выражения в исходное:
\(
x^{-4} — 2x^{-2} + 1 — (x^{-4} — 16).
\)
Раскроем скобки:
\(
x^{-4} — 2x^{-2} + 1 — x^{-4} + 16.
\)
Сокращаем \( x^{-4} \):
\(
-2x^{-2} + 1 + 16 = 17 — 2x^{-2}.
\)

Ответ: \( 17 — 2x^{-2} \).

2) Упростим выражение \( \frac{a^{-2} — 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} — 5b^{-1}} \).

Обратите внимание, что числитель можно представить как полный квадрат:
\(
a^{-2} — 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2} = (a^{-1} — 5b^{-1})^2.
\)
Теперь подставим это в выражение:
\(
\frac{(a^{-1} — 5b^{-1})^2}{a^{-1} — 5b^{-1}}.
\)
Сократим общий множитель \( a^{-1} — 5b^{-1} \):
\(
a^{-1} — 5b^{-1}.
\)

Ответ: \( a^{-1} — 5b^{-1} \).

3) Упростим выражение \( \frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} — \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}} \).

Для начала упростим первую дробь. В числителе и знаменателе выделим общий множитель:
\(
\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} = \frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}.
\)
Теперь второй множитель:
\(
\frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}.
\)
Теперь вычитаем эти дроби, приведем их к общему знаменателю:
\(
\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} — \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}} = \frac{5m^{-2} + n^{-2} — 4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}.
\)
Упростим числитель:
\(
5m^{-2} + n^{-2} — 4m^{-2} = m^{-2} + n^{-2}.
\)
Теперь выражение примет вид:
\(
\frac{m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}.
\)
Сократим \( m^{-2} + n^{-2} \):
\(
\frac{1}{4m^{-1}}.
\)
Это эквивалентно:
\(
\frac{m}{4}.
\)

Ответ: \( \frac{m}{4} \).

4) Упростим выражение \( \frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}} \).

Начнем с первого множителя:
\(
\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} = (b^{-1} + 3c^{-1}) \cdot c^2.
\)
Теперь второй множитель:
\(
\frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}.
\)
Выделим общий множитель \( b^{-1}c^{-2} \) в знаменателе:
\(
b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2} = b^{-1}c^{-2}(b^{-1}c + 3).
\)
Теперь подставим это в выражение:
\(
(b^{-1} + 3c^{-1}) \cdot c^2 \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-2}(b^{-1}c + 3)}.
\)
Сократим \( b^{-1} + 3c^{-1} \) и \( b^{-1}c^{-2} \), получим:
\(
\frac{bc \cdot c^2}{b^{-1}c^{-3}} = b^2c^4.
\)

Ответ: \( b^2c^4 \).