ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) \( \left( \frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} — \frac{a^{-1} — b^{-1}}{a^{-1}} \right) : \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} \)

2) \(\frac{b^{-2} — 2}{b^{-2}} — \frac{b^{-4} — 4}{b^{-2}} \cdot \frac{1}{b^{-2} — 2} \)

3) \(\frac{5c^{-3}}{c^{-3} — 3} — \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} — 6} \cdot \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} \)

4) \(\left( \frac{m^{-4}}{m^{-4} — 4} — \frac{3m^{-4}}{m^{-8} — 8m^{-4} + 16} \right) \cdot \frac{16 — m^{-8}}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} \)

5) \(\frac{(a + b — 1)^{-1} + (a — b + 1)^{-1}}{2(a + b)} \cdot \left( \frac{1}{a^{-2}} — \frac{1}{(b — 1)^{-2}} \right) \)

1) \( \left( \frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} — \frac{a^{-1} — b^{-1}}{a^{-1}} \right) : \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} =\)

\( = \left( \frac{a^{-2} — (a^{-1} — b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} \right) \cdot \left( \frac{a^2}{b} \right)^{-1} =\)

\( = \frac{a^{-2} — a^{-2} + b^{-2}}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} \cdot \frac{b}{a^2} = \frac{b^{-2} \cdot b}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1}) \cdot a^2} = \frac{b^{-1}}{a(a^{-1} + b^{-1})} =\)

\(= \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)} = \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a \cdot \frac{b + a}{ab}} = \frac{1}{b} \cdot \frac{ab}{a(a + b)} = \frac{1}{b} \cdot \frac{b}{a + b} = \frac{1}{a + b};\)

2) \(\frac{b^{-2} — 2}{b^{-2}} — \frac{b^{-4} — 4}{b^{-2}} \cdot \frac{1}{b^{-2} — 2} = \frac{b^{-2} — 2}{b^{-2}} — \frac{(b^{-2} — 2)(b^{-2} + 2)}{b^{-2} \cdot (b^{-2} — 2)} =\)

\(= \frac{b^{-2} — 2}{b^{-2}} — \frac{b^{-2} + 2}{b^{-2}} = \frac{b^{-2} — 2 — (b^{-2} + 2)}{b^{-2}} = \frac{b^{-2} — 2 — b^{-2} — 2}{b^{-2}} = \frac{-4}{b^{-2}} = -4b^{2};\)

3) \(\frac{5c^{-3}}{c^{-3} — 3} — \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} — 6} \cdot \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} = \frac{5c^{-3}}{c^{-3} — 3} — \frac{(c^{-3} + 6) \cdot 90}{2(c^{-3} — 3) \cdot c^{-3}(c^{-3} + 6)} =\)

\(= \frac{5c^{-3}}{c^{-3} — 3} — \frac{45}{c^{-3}(c^{-3} — 3)} = \frac{5c^{-6} — 45}{c^{-3}(c^{-3} — 3)} = \frac{5(c^{-6} — 9)}{c^{-3}(c^{-3} — 3)} = \frac{5(c^{-3} — 3)(c^{-3} + 3)}{c^{-3}(c^{-3} — 3)} =\)

\(= \frac{5(c^{-3} + 3)}{c^{-3}} = 5 \left( \frac{c^{-3}}{c^{-3}} + \frac{3}{c^{-3}} \right) = 5(1 + 3c^{3}) = 5 + 15c^{3}.\);

4) \(\left( \frac{m^{-4}}{m^{-4} — 4} — \frac{3m^{-4}}{m^{-8} — 8m^{-4} + 16} \right) \cdot \frac{16 — m^{-8}}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =\)

\(= \left( \frac{m^{-4}}{m^{-4} — 4} — \frac{3m^{-4}}{(m^{-4} — 4)^2} \right) \cdot \frac{16 — m^{-8}}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =\)

\(= \frac{m^{-4}(m^{-4} — 4) — 3m^{-4}}{(m^{-4} — 4)^2} \cdot \frac{-(m^{-8} — 16)}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =\)

\(= \frac{m^{-8} — 4m^{-4} — 3m^{-4}}{(m^{-4} — 4)^2} \cdot \frac{-(m^{-4} — 4)(m^{-4} + 4)}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =\)

\(= \frac{m^{-8} — 7m^{-4}}{(m^{-4} — 4)^2} \cdot \frac{-(m^{-4} — 4)(m^{-4} + 4)}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =\)

\(= \frac{m^{-4}(m^{-4} — 7) \cdot (-(m^{-4} + 4))}{(m^{-4} — 4)(m^{-4} — 7)} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =\)

\(= \frac{-m^{-4}(m^{-4} + 4)}{m^{-4} — 4} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} = \frac{-m^{-8} — 4m^{-4} + 8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =\)

\(= \frac{-m^{-8} + 4m^{-4}}{m^{-4} — 4} = \frac{-m^{-4}(m^{-4} — 4)}{m^{-4} — 4} = -m^{-4} = -\frac{1}{m^{4}};\)

5) \(\frac{(a + b — 1)^{-1} + (a — b + 1)^{-1}}{2(a + b)} \cdot \left( \frac{1}{a^{-2}} — \frac{1}{(b — 1)^{-2}} \right) =\)

\(= \frac{1}{a + b — 1} + \frac{1}{a — b + 1} \cdot \frac{1}{2(a + b)} \cdot \left( a^{2} — (b — 1)^{2} \right) =\)

\(= \frac{a — b + 1 + a + b — 1}{(a + b — 1)(a — b + 1)} \cdot \frac{1}{2(a + b)} \cdot (a — b + 1)(a + b — 1) =\)

\(= \frac{2a}{(a + b — 1)(a — b + 1)} \cdot \frac{1}{2(a + b)} \cdot (a — b + 1)(a + b — 1) = \frac{a}{a + b}.\)

1) \(
\left( \frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} — \frac{a^{-1} — b^{-1}}{a^{-1}} \right) : \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} =
\)
Решаем первое выражение в скобках:

\(
\frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{a^{-1}}{\frac{a + b}{ab}} = \frac{a^{-1} \cdot ab}{a + b} = \frac{b}{a + b}
\)

\(
\frac{a^{-1} — b^{-1}}{a^{-1}} = \frac{a^{-1} — b^{-1}}{a^{-1}} = 1 — \frac{b^{-1}}{a^{-1}} = 1 — \frac{a}{b}
\)

Теперь, вычислим разность:

\(
\frac{b}{a + b} — \left( 1 — \frac{a}{b} \right) = \frac{b}{a + b} — 1 + \frac{a}{b}
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
= \frac{b}{a + b} — \frac{a + b}{a + b} + \frac{a}{b} = \frac{b — (a + b)}{a + b} + \frac{a}{b} = \frac{-a}{a + b} + \frac{a}{b}
\)

Теперь поделим на \( \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} = \frac{a^2}{b} \):

\(
\left( \frac{-a}{a + b} + \frac{a}{b} \right) \cdot \frac{b}{a^2} = \frac{-ab}{a^2(a + b)} + \frac{a \cdot b}{a^2 \cdot b} = \frac{-b}{a(a + b)} + \frac{1}{a}
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
= \frac{-b + (a + b)}{a(a + b)} = \frac{a}{a(a + b)} = \frac{1}{a + b}
\)

Ответ: \( \frac{1}{a + b} \)

2) \(
\frac{b^{-2} — 2}{b^{-2}} — \frac{b^{-4} — 4}{b^{-2}} \cdot \frac{1}{b^{-2} — 2} =
\)
Решаем первое выражение:

\(
\frac{b^{-2} — 2}{b^{-2}} = 1 — 2b^2
\)

Теперь, решим второе выражение:

\(
\frac{b^{-4} — 4}{b^{-2}} = b^{-2} — 4b^2
\)

И умножим на \( \frac{1}{b^{-2} — 2} \):

\(
\frac{b^{-2} — 2}{b^{-2}} — \left( b^{-2} — 4b^2 \right) \cdot \frac{1}{b^{-2} — 2}
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
= 1 — 2b^2 — \frac{(b^{-2} — 2)(b^{-2} + 2)}{b^{-2} \cdot (b^{-2} — 2)} = -4b^2
\)

Ответ: \( -4b^2 \)

3) \(
\frac{5c^{-3}}{c^{-3} — 3} — \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} — 6} \cdot \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} =
\)
Решаем первое выражение:

\(
\frac{5c^{-3}}{c^{-3} — 3} = 5 \cdot \frac{c^{-3}}{c^{-3} — 3}
\)

Теперь, второе выражение:

\(
\frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} — 6} = \frac{c^{-3} + 6}{2(c^{-3} — 3)}
\)

Умножаем на \( \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} \):

\(
\frac{(c^{-3} + 6) \cdot 90}{2(c^{-3} — 3) \cdot c^{-3} \cdot (c^{-3} + 6)}
\)

Теперь упростим:

\(
= 5 \cdot \left( 1 + 3c^3 \right) = 5 + 15c^3
\)

Ответ: \( 5 + 15c^3 \)

4) \(
\left( \frac{m^{-4}}{m^{-4} — 4} — \frac{3m^{-4}}{m^{-8} — 8m^{-4} + 16} \right) \cdot \frac{16 — m^{-8}}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4} =
\)
Решаем первое выражение:

\(
\frac{m^{-4}}{m^{-4} — 4} — \frac{3m^{-4}}{(m^{-4} — 4)^2}
\)

Теперь, учитываем второе выражение:

\(
\frac{16 — m^{-8}}{m^{-4} — 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} — 4}
\)

Приводим все выражения к общему знаменателю:

\(
= -m^{-4}
\)

Ответ: \(  -\frac{1}{m^{4}} \)

5) \(
\frac{(a + b — 1)^{-1} + (a — b + 1)^{-1}}{2(a + b)} \cdot \left( \frac{1}{a^{-2}} — \frac{1}{(b — 1)^{-2}} \right) =
\)
Решаем первое выражение:

\(
\frac{1}{a + b — 1} + \frac{1}{a — b + 1} = \frac{a — b + 1 + a + b — 1}{(a + b — 1)(a — b + 1)} = \frac{2a}{(a + b — 1)(a — b + 1)}
\)

Теперь второе выражение:

\(
\frac{1}{a^{-2}} — \frac{1}{(b — 1)^{-2}} = a^2 — (b — 1)^2
\)

Умножаем на \( \frac{1}{2(a + b)} \):

\(
= \frac{a}{a + b}
\)

Ответ: \( \frac{a}{a + b} \)