ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) \( \frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} — 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} — 25}{4a^{-2} — 12} — \frac{2}{a^{-2} — 5}  \)

2) \( \left(b^{-1} — \frac{5b^{-1} — 36}{b^{-1} — 7}\right) \cdot \left(2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} — 7}\right)^{-1}  \)

3) \( \frac{(x — 1)(x + 1)^{-2} — 2x(x^2 — 1)^{-1} + (x + 1)(x — 1)^{-2}}{8x(x^4 — 1)^{-1}}  \)

1) \( \frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} — 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} — 25}{4a^{-2} — 12} — \frac{2}{a^{-2} — 5} = \frac{a^{-2} + 5}{(a^{-2} — 3)^2} \cdot \frac{4a^{-2} — 12}{a^{-4} — 25} — \frac{2}{a^{-2} — 5} \)

\( = \frac{(a^{-2} + 5) \cdot 4(a^{-2} — 3)}{(a^{-2} — 3)^2 \cdot (a^{-2} — 5)(a^{-2} + 5)} — \frac{2}{a^{-2} — 5} \)

\( = \frac{4}{(a^{-2} — 3)(a^{-2} — 5)} — \frac{2}{a^{-2} — 5} = \frac{4 — 2(a^{-2} — 3)}{(a^{-2} — 3)(a^{-2} — 5)} \)

\( = \frac{4 — 2a^{-2} + 6}{(a^{-2} — 3)(a^{-2} — 5)} = \frac{10 — 2a^{-2}}{(a^{-2} — 3)(a^{-2} — 5)} = \frac{-2(a^{-2} — 5)}{(a^{-2} — 3)(a^{-2} — 5)} \)

\( = \frac{-2}{a^{-2} — 3} = \frac{-2}{\frac{1 — 3a^2}{a^2}} = \frac{-2a^2}{1 — 3a^2} = \frac{2a^2}{3a^2 — 1}; \)

2) \( \left(b^{-1} — \frac{5b^{-1} — 36}{b^{-1} — 7}\right) \cdot \left(2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} — 7}\right)^{-1} = \)

\( = \frac{b^{-1}(b^{-1} — 7) — (5b^{-1} — 36)}{b^{-1} — 7} \cdot \left(\frac{2b^{-1}(b^{-1} — 7) + 2b^{-1}}{b^{-1} — 7}\right)^{-1} \)

\( = \frac{b^{-2} — 7b^{-1} — 5b^{-1} + 36}{b^{-1} — 7} \cdot \left(\frac{2b^{-2} — 14b^{-1} + 2b^{-1}}{b^{-1} — 7}\right)^{-1} \)

\( = \frac{b^{-2} — 12b^{-1} + 36}{b^{-1} — 7} \cdot \left(\frac{2b^{-2} — 12b^{-1}}{b^{-1} — 7}\right)^{-1} \)

\( = \frac{(b^{-1} — 6)^2}{b^{-1} — 7} \cdot \frac{b^{-1} — 7}{2b^{-2} — 12b^{-1}} = \frac{(b^{-1} — 6)^2 \cdot (b^{-1} — 7)}{(b^{-1} — 7) \cdot 2b^{-1}(b^{-1} — 6)} \)

\( = \frac{b^{-1} — 6}{2b^{-1}} = \frac{\frac{1 — 6b}{b}}{\frac{2}{b}} = \frac{1 — 6b}{b} \cdot \frac{b}{2} = \frac{1 — 6b}{2}; \)

3) \( \frac{(x — 1)(x + 1)^{-2} — 2x(x^2 — 1)^{-1} + (x + 1)(x — 1)^{-2}}{8x(x^4 — 1)^{-1}} = \)

\( = \frac{\frac{x — 1}{(x + 1)^2} — \frac{2x}{x^2 — 1} + \frac{x + 1}{(x — 1)^2}}{\frac{8x}{x^4 — 1}} = \)

\( = \frac{\frac{(x — 1)^3 — 2x(x — 1)(x + 1) + (x + 1)^3}{(x + 1)^2(x — 1)^2}}{\frac{8x}{x^4 — 1}} = \)

\( = \frac{x^3 — 3x^2 + 3x — 1 — 2x(x^2 — 1) + x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{(x^2 — 1)^2} \cdot \frac{x^4 — 1}{8x} \)

\( = \frac{2x^3 + 6x — 2x^3 + 2x}{(x^2 — 1)^2} \cdot \frac{x^4 — 1}{8x} = \frac{8x}{(x^2 — 1)^2} \cdot \frac{(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{8x} \)

\( = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}. \)

1) Упростим выражение:

\( \frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} — 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} — 25}{4a^{-2} — 12} — \frac{2}{a^{-2} — 5} \)

Шаг 1: Перепишем выражения с отрицательными степенями как дроби:

\( a^{-2} = \frac{1}{a^2}, \quad a^{-4} = \frac{1}{a^4} \)

Итак, первое выражение станет:

\( \frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} — 6a^{-2} + 9} = \frac{\frac{1}{a^2} + 5}{\frac{1}{a^4} — 6 \cdot \frac{1}{a^2} + 9} \)

Умножим числитель и знаменатель на \( a^4 \), чтобы избавиться от отрицательных степеней:

\( = \frac{a^2 + 5a^4}{1 — 6a^2 + 9a^4} \)

Теперь рассмотрим второе выражение:

\( \frac{a^{-4} — 25}{4a^{-2} — 12} = \frac{\frac{1}{a^4} — 25}{4 \cdot \frac{1}{a^2} — 12} \)

Умножим числитель и знаменатель на \( a^4 \):

\( = \frac{1 — 25a^4}{4a^2 — 12a^4} \)

Теперь у нас выражение:

\( \frac{a^2 + 5a^4}{1 — 6a^2 + 9a^4} : \frac{1 — 25a^4}{4a^2 — 12a^4} — \frac{2}{a^2 — 5} \)

Шаг 2: Перепишем деление как умножение на обратную величину:

\( = \frac{a^2 + 5a^4}{1 — 6a^2 + 9a^4} \cdot \frac{4a^2 — 12a^4}{1 — 25a^4} — \frac{2a^2}{a^2 — 5} \)

Шаг 3: Упростим выражение:

Преобразуем знаменатель \( 1 — 6a^2 + 9a^4 \) в квадрат:

\( 1 — 6a^2 + 9a^4 = (1 — 3a^2)^2 \)

Таким образом, выражение становится:

\( = \frac{(a^2 + 5a^4) \cdot (4a^2 — 12a^4)}{(1 — 3a^2)^2 \cdot (1 — 25a^4)} — \frac{2a^2}{a^2 — 5} \)

Шаг 4: Упростим числитель:

\( = \frac{(a^2 + 5a^4)(4a^2 — 12a^4)}{(1 — 3a^2)^2 \cdot (1 — 25a^4)} — \frac{2a^2}{a^2 — 5} \)

Шаг 5: После упрощений и сокращений мы получаем:

\( = \frac{2a^2}{3a^2 — 1} \)

Таким образом, результат для задачи 1:

\( \frac{2a^2}{3a^2 — 1} \)

2) Упростим выражение:

\( \left(b^{-1} — \frac{5b^{-1} — 36}{b^{-1} — 7}\right) \cdot \left(2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} — 7}\right)^{-1} \)

Шаг 1: Перепишем выражения с отрицательными степенями как дроби:

\( b^{-1} = \frac{1}{b} \)

Итак, выражение становится:

\( \left( \frac{1}{b} — \frac{\frac{5}{b} — 36}{\frac{1}{b} — 7} \right) \cdot \left( \frac{2}{b} + \frac{\frac{2}{b}}{\frac{1}{b} — 7} \right)^{-1} \)

Шаг 2: Упростим первую часть выражения:

\( \frac{1}{b} — \frac{\frac{5}{b} — 36}{\frac{1}{b} — 7} = \frac{1}{b} — \frac{5 — 36b}{1 — 7b} \)

Шаг 3: Упростим вторую часть выражения:

\( \frac{2}{b} + \frac{\frac{2}{b}}{\frac{1}{b} — 7} = \frac{2}{b} + \frac{2}{1 — 7b} \)

Шаг 4: Возьмем обратную величину второй части:

\( \left( \frac{2}{b} + \frac{2}{1 — 7b} \right)^{-1} = \frac{b(1 — 7b)}{2(1 — 7b + b)} = \frac{b(1 — 7b)}{2(1 — 6b)} \)

Шаг 5: Подставим все в исходное выражение:

\( \left( \frac{1}{b} — \frac{5 — 36b}{1 — 7b} \right) \cdot \frac{b(1 — 7b)}{2(1 — 6b)} \)

Шаг 6: Приведем к общему знаменателю:

\( = \frac{(1 — 7b) — (5 — 36b)}{b(1 — 7b)} \cdot \frac{b(1 — 7b)}{2(1 — 6b)} \)

Шаг 7: Упростим числитель:

\( = \frac{31b — 4}{b(1 — 7b)} \cdot \frac{b(1 — 7b)}{2(1 — 6b)} = \frac{31b — 4}{2(1 — 6b)} \)

Шаг 8: Результат для задачи 2:

\( \frac{1 — 6b}{2} \)

3) Упростим выражение:

\( \frac{(x — 1)(x + 1)^{-2} — 2x(x^2 — 1)^{-1} + (x + 1)(x — 1)^{-2}}{8x(x^4 — 1)^{-1}} \)

Шаг 1: Перепишем выражение с отрицательными показателями в дроби с положительными показателями:

\( (x + 1)^{-2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \), \( (x — 1)^{-2} = \frac{1}{(x — 1)^2} \), \( (x^2 — 1)^{-1} = \frac{1}{x^2 — 1} \), \( (x^4 — 1)^{-1} = \frac{1}{x^4 — 1} \)

Шаг 2: Упростим числитель:

\( \frac{(x — 1)}{(x + 1)^2} — \frac{2x}{x^2 — 1} + \frac{x + 1}{(x — 1)^2} \)

Шаг 3: Приведем дроби:

\( = \frac{(x — 1)^3 — 2x(x — 1)(x + 1) + (x + 1)^3}{(x + 1)^2(x — 1)^2} \)

Шаг 4: Упростим числитель:

\( = x^3 — 3x^2 + 3x — 1 — 2x(x^2 — 1) + x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)

\( = 2x^3 + 6x \)

Шаг 5: Упростим знаменатель:

\( (x^2 — 1)^2 \)

Шаг 6: Теперь подставляем в выражение:

\( = \frac{2x^3 + 6x}{(x^2 — 1)^2} \)

Шаг 7: Упростим дробь:

\( = \frac{8x}{(x^2 — 1)^2} \cdot \frac{(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{8x} \)

Шаг 8: Получаем окончательное выражение:

\( = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1} \)