ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Порядок числа a равен -4, а порядок числа b равен 3. Каким может быть порядок значения выражения:

1) ab;

2) a + b;

3) a + 10b;

4) 10a + 0,1b?

Пусть \( a = a_1 \cdot 10^{-4} \), \( b = b_1 \cdot 10^3 \), где \( 1 \le a_1 < 10 \) и \( 1 \le b_1 < 10 \).

1) Тогда, \( ab = a_1 b_1 \cdot 10^{-4} \cdot 10^3 = a_1 b_1 \cdot 10^{-1} \).

Имеет: \( 1 \le a_1 b_1 < 100 \).

Если \( 1 \le a_1 b_1 < 10 \), то порядок числа \( ab \) равен \( (-1) \);

если \( 10 \le a_1 b_1 < 100 \), то порядок числа \( ab \) равен \( 0 \).

Ответ: \( (-1) \) или \( 0 \).

2) Тогда, \( a + b = a_1 \cdot 10^{-4} + b_1 \cdot 10^3 = 10^3 \cdot (a_1 \cdot 10^{-7} + b_1) \).

Имеет: \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-7} + b_1 < 100 \).

Если \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-7} + b_1 < 10 \), то порядок числа \( a + b \) равен \( 3 \);

если \( 10 \le a_1 \cdot 10^{-7} + b_1 < 100 \), то порядок числа \( a + b \) равен \( 4 \).

Ответ: \( 3 \) или \( 4 \).

3) Тогда, \( a + 10b = a_1 \cdot 10^{-4} + 10 \cdot b_1 \cdot 10^3 = a_1 \cdot 10^{-4} + b_1 \cdot 10^4 = \)

\( = 10^4 \cdot (a_1 \cdot 10^{-8} + b_1). \)

Имеет: \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-8} + b_1 < 100 \).

Если \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-8} + b_1 < 10 \), то порядок числа \( a + 10b \) равен \( 4 \);

если \( 10 \le a_1 \cdot 10^{-8} + b_1 < 100 \), то порядок числа \( a + 10b \) равен \( 5 \).

Ответ: \( 4 \) или \( 5 \).

4) Тогда, \( 10a + 0{,}1b = 10 \cdot a_1 \cdot 10^{-4} + 0{,}1 \cdot b_1 \cdot 10^3 = \)

\( = a_1 \cdot 10^{-3} + 10^{-1} \cdot b_1 \cdot 10^3 = a_1 \cdot 10^{-3} + b_1 \cdot 10^2 = \)

\( = 10^2 \cdot (a_1 \cdot 10^{-5} + b_1) \).

Имеет: \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-5} + b_1 < 100 \).

Если \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-5} + b_1 < 10 \), то порядок числа \( 10a + 0{,}1b \) равен \( 2 \);

если \( 10 \le a_1 \cdot 10^{-5} + b_1 < 100 \), то порядок числа \( 10a + 0{,}1b \) равен \( 3 \).

Ответ: \( 2 \) или \( 3 \).

Задано два числа: \( a = a_1 \cdot 10^{-4} \) и \( b = b_1 \cdot 10^3 \), где \( 1 \le a_1 < 10 \) и \( 1 \le b_1 < 10 \). Порядок числа \( a \) равен -4, а порядок числа \( b \) равен 3. Нужно найти порядок значений следующих выражений:

1) \( ab \)

Для нахождения порядка произведения чисел \( a \) и \( b \) используем стандартное правило для порядков произведений. Порядок произведения чисел равен сумме порядков этих чисел.

Итак, выражаем произведение \( ab \):

\( ab = (a_1 \cdot 10^{-4}) \cdot (b_1 \cdot 10^3) \).

Применяем свойства степеней с одинаковым основанием:

\( ab = a_1 b_1 \cdot 10^{-4} \cdot 10^3 = a_1 b_1 \cdot 10^{-4 + 3} = a_1 b_1 \cdot 10^{-1} \).

Теперь исследуем значение \( a_1 b_1 \), где \( 1 \le a_1 < 10 \) и \( 1 \le b_1 < 10 \). Это означает, что \( 1 \le a_1 b_1 < 100 \). Рассмотрим два случая:

• Если \( 1 \le a_1 b_1 < 10 \), то произведение \( a_1 b_1 \cdot 10^{-1} \) будет в пределах от \( 0.1 \) до \( 1 \), а значит, порядок числа \( ab \) будет равен \( (-1) \), так как результат лежит в интервале от \( 10^{-1} \) до \( 10^0 \).
• Если \( 10 \le a_1 b_1 < 100 \), то произведение \( a_1 b_1 \cdot 10^{-1} \) будет в пределах от \( 1 \) до \( 10 \), и порядок числа \( ab \) будет равен \( 0 \), так как результат лежит в интервале от \( 10^0 \) до \( 10^1 \).

Ответ: Порядок числа \( ab \) может быть \( (-1) \) или \( 0 \).

2) \( a + b \)

Для нахождения порядка суммы чисел \( a \) и \( b \) рассмотрим выражение:

\( a + b = a_1 \cdot 10^{-4} + b_1 \cdot 10^3 \).

Чтобы упростить, выделим общий множитель \( 10^3 \):

\( a + b = 10^3 \cdot (a_1 \cdot 10^{-7} + b_1) \).

Теперь нужно оценить порядок числа \( a_1 \cdot 10^{-7} + b_1 \). Заметим, что \( a_1 \cdot 10^{-7} \) — это очень маленькое число по сравнению с \( b_1 \), так что его вклад в сумму будет незначительным. Таким образом, для двух случаев:

• Если \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-7} + b_1 < 10 \), то порядок числа \( a + b \) равен 3, так как множитель \( 10^3 \) остается основным, и сумма будет находиться в пределах от \( 10^3 \) до \( 10^4 \).
• Если \( 10 \le a_1 \cdot 10^{-7} + b_1 < 100 \), то порядок числа \( a + b \) равен 4, так как сумма будет находиться в пределах от \( 10^4 \) до \( 10^5 \), благодаря тому, что \( b_1 \) достаточно велико.

Ответ: Порядок числа \( a + b \) может быть 3 или 4.

3) \( a + 10b \)

Для нахождения порядка суммы \( a + 10b \) используем выражение:

\( a + 10b = a_1 \cdot 10^{-4} + 10 \cdot b_1 \cdot 10^3 \).

Теперь упростим его:

\( a + 10b = a_1 \cdot 10^{-4} + b_1 \cdot 10^4 = 10^4 \cdot (a_1 \cdot 10^{-8} + b_1) \).

Теперь рассматриваем сумму \( a_1 \cdot 10^{-8} + b_1 \). Так как \( a_1 \cdot 10^{-8} \) очень мало по сравнению с \( b_1 \), то:

• Если \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-8} + b_1 < 10 \), то порядок числа \( a + 10b \) равен 4, так как множитель \( 10^4 \) доминирует, и сумма будет в пределах от \( 10^4 \) до \( 10^5 \).
• Если \( 10 \le a_1 \cdot 10^{-8} + b_1 < 100 \), то порядок числа \( a + 10b \) равен 5, так как сумма будет в пределах от \( 10^5 \) до \( 10^6 \).

Ответ: Порядок числа \( a + 10b \) может быть 4 или 5.

4) \( 10a + 0,1b \)

Для нахождения порядка суммы \( 10a + 0,1b \) рассматриваем следующее выражение:

\( 10a + 0,1b = 10 \cdot a_1 \cdot 10^{-4} + 0,1 \cdot b_1 \cdot 10^3 \).

Приводим выражение к удобному виду:

\( 10a + 0,1b = a_1 \cdot 10^{-3} + 10^{-1} \cdot b_1 \cdot 10^3 = a_1 \cdot 10^{-3} + b_1 \cdot 10^2 =\)

\(= 10^2 \cdot (a_1 \cdot 10^{-5} + b_1) \).

Теперь исследуем сумму \( a_1 \cdot 10^{-5} + b_1 \), где \( 1 \le a_1 < 10 \) и \( 1 \le b_1 < 10 \). Поскольку \( a_1 \cdot 10^{-5} \) очень маленькое число по сравнению с \( b_1 \), то:

• Если \( 1 \le a_1 \cdot 10^{-5} + b_1 < 10 \), то порядок числа \( 10a + 0,1b \) равен 2, так как множитель \( 10^2 \) остается основным, и сумма будет в пределах от \( 10^2 \) до \( 10^3 \).
• Если \( 10 \le a_1 \cdot 10^{-5} + b_1 < 100 \), то порядок числа \( 10a + 0,1b \) равен 3, так как сумма будет в пределах от \( 10^3 \) до \( 10^4 \).

Ответ: Порядок числа \( 10a + 0,1b \) может быть 2 или 3.