ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( 3a^{-3} \cdot 4a^{-4} \)

2) \( \frac{10b^{-4}}{15b^{-5}} \)

3) \( (2c^{-6})^4 \)

4) \( m^{-2}n \cdot mn^{-2} \)

5) \( \frac{kp^{-6}}{k^4p^4} \)

6) \( (c^{-6}d^2)^{-7} \)

7) \( 0{,}2c^{-3}d^5 \cdot 1{,}5c^{-2}d^{-5} \)

8) \( 4x^8 \cdot (-3x^{-2}y^4)^{-2} \)

9) \( \frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} \cdot \frac{27n}{26m^2} \)

10) \( \frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6} \)

1) \( 3a^{-3} \cdot 4a^{-4} = (3 \cdot 4) \cdot (a^{-3} \cdot a^{-4}) = 12a^{-7}; \)

2) \( \frac{10b^{-4}}{15b^{-5}} = \frac{2b}{3}; \)

3) \( (2c^{-6})^4 = 16c^{-24}; \)

4) \( m^{-2}n \cdot mn^{-2} = m^{-2+1}n^{1-2} = m^{-1}n^{-1}; \)

5) \( \frac{kp^{-6}}{k^4p^4} = k^{1-4}p^{-6-4} = k^{-3}p^{-10}; \)

6) \( (c^{-6}d^2)^{-7} = c^{42}d^{-14}; \)

7) \( 0{,}2c^{-3}d^5 \cdot 1{,}5c^{-2}d^{-5} = (0{,}2 \cdot 1{,}5) \cdot c^{-3-2}d^{5-5} = 0{,}3c^{-5}d^0 = 0{,}3c^{-5}; \)

8) \( 4x^8 \cdot (-3x^{-2}y^4)^{-2} = 4x^8 \cdot \frac{1}{(-3x^{-2}y^4)^2} = \frac{4x^8}{9x^{-4}y^8} = \frac{4x^{12}}{9y^8}; \)

9) \( \frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} \cdot \frac{27n}{26m^2} = \frac{13m^{-10} \cdot 27n}{12n^{-8} \cdot 26m^2} = \frac{m^{-12} \cdot 9n^9}{4 \cdot 2} = \frac{9n^9}{8m^{12}}; \)

10) \( \frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6} = \frac{18p^{-6}k^2 \cdot p^6}{7 \cdot 15k^{-2}} = \frac{18p^0k^4}{7 \cdot 15} = \frac{6k^4}{35}. \)

1) \( 3a^{-3} \cdot 4a^{-4} \)

Для начала, при умножении чисел с одинаковым основанием (в данном случае основание \( a \)), показатели степеней складываются. Также, можно перемножить коэффициенты 3 и 4:

\( 3a^{-3} \cdot 4a^{-4} = (3 \cdot 4) \cdot (a^{-3} \cdot a^{-4}) = 12a^{-7} \)

Ответ: \( 12a^{-7} \)

2) \( \frac{10b^{-4}}{15b^{-5}} \)

При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются. Также можно упростить коэффициенты \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \):

\( \frac{10b^{-4}}{15b^{-5}} = \frac{10}{15} \cdot b^{-4 — (-5)} = \frac{10}{15} \cdot b^{1} = \frac{2b}{3} \)

Ответ: \( \frac{2b}{3} \)

3) \( (2c^{-6})^4 \)

Здесь используем правило для возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Таким образом, для выражения \( (2c^{-6})^4 \) мы получаем:

\( (2c^{-6})^4 = 2^4 \cdot c^{-6 \cdot 4} = 16c^{-24} \)

Ответ: \( 16c^{-24} \)

4) \( m^{-2}n \cdot mn^{-2} \)

Для умножения степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Сначала для \( m \) и \( n \):

\( m^{-2} \cdot m^{1} = m^{-2+1} = m^{-1} \)

\( n^1 \cdot n^{-2} = n^{1-2} = n^{-1} \)

Итак, результат будет:

\( m^{-1}n^{-1} \)

Ответ: \( m^{-1}n^{-1} \)

5) \( \frac{kp^{-6}}{k^4p^4} \)

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. В числителе и знаменателе перемножаем показатели степеней для \( k \) и для \( p \):

\( \frac{kp^{-6}}{k^4p^4} = k^{1-4} \cdot p^{-6-4} = k^{-3} \cdot p^{-10} \)

Ответ: \( k^{-3}p^{-10} \)

6) \( (c^{-6}d^2)^{-7} \)

Используем правило для возведения произведения в степень: \( (ab)^n = a^n \cdot b^n \). Тогда:

\( (c^{-6}d^2)^{-7} = c^{-6 \cdot (-7)} \cdot d^{2 \cdot (-7)} = c^{42} \cdot d^{-14} \)

Ответ: \( c^{42}d^{-14} \)

7) \( 0{,}2c^{-3}d^5 \cdot 1{,}5c^{-2}d^{-5} \)

Сначала умножаем коэффициенты 0,2 и 1,5: \( 0{,}2 \cdot 1{,}5 = 0{,}3 \). Теперь, применяя правило для умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели для \( c \) и \( d \):

\( c^{-3} \cdot c^{-2} = c^{-3-2} = c^{-5} \)

\( d^5 \cdot d^{-5} = d^{5-5} = d^0 = 1 \)

Итак, получаем:

\( 0{,}3c^{-5} \cdot 1 = 0{,}3c^{-5} \)

Ответ: \( 0{,}3c^{-5} \)

8) \( 4x^8 \cdot (-3x^{-2}y^4)^{-2} \)

Для начала, возведем выражение \( (-3x^{-2}y^4)^{-2} \) в квадрат. Используя правило для возведения произведения в степень, получаем:

\( (-3x^{-2}y^4)^{-2} = (-3)^{-2} \cdot x^{-2 \cdot (-2)} \cdot y^{4 \cdot (-2)} = \frac{1}{9} \cdot x^4 \cdot y^{-8} \)

Теперь умножим на \( 4x^8 \):

\( 4x^8 \cdot \frac{1}{9} \cdot x^4 \cdot y^{-8} = \frac{4x^8 \cdot x^4}{9y^8} = \frac{4x^{8+4}}{9y^8} = \frac{4x^{12}}{9y^8} \)

Ответ: \( \frac{4x^{12}}{9y^8} \)

9) \( \frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} \cdot \frac{27n}{26m^2} \)

Перемножим числители и знаменатели: в числителе \( 13m^{-10} \cdot 27n \), а в знаменателе \( 12n^{-8} \cdot 26m^2 \). Мы получаем:

\( \frac{13 \cdot 27 \cdot m^{-10} \cdot n}{12 \cdot 26 \cdot n^{-8} \cdot m^2} = \frac{13 \cdot 27}{12 \cdot 26} \cdot \frac{m^{-10}}{m^2} \cdot \frac{n}{n^{-8}} = \frac{351}{312} \cdot m^{-12} \cdot n^9 \)

Упрощаем дробь \( \frac{351}{312} = \frac{9}{8} \), и результат будет:

\( \frac{9n^9}{8m^{12}} \)

Ответ: \( \frac{9n^9}{8m^{12}} \)

10) \( \frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6} \)

Переводим деление в умножение на обратную дробь:

\( \frac{18p^{-6}k^2}{7} \cdot \frac{p^6}{15k^{-2}} = \frac{18p^{-6}k^2 \cdot p^6}{7 \cdot 15k^{-2}} = \frac{18p^0k^4}{7 \cdot 15} = \frac{6k^4}{35} \)

Ответ: \( \frac{6k^4}{35} \)