ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Порядок числа m равен 2, а порядок числа n равен 4. Каким может быть порядок значения выражения:

1) mn;

2) 0,01mn;

3) 100m + n;

4) 0,01m + n?

Пусть \( m = m_1 \cdot 10^2 \), \( n = n_1 \cdot 10^4 \), где \( 1 \le m_1 < 10 \) и \( 1 \le n_1 < 10 \).

1) Тогда, \( mn = m_1 n_1 \cdot 10^2 \cdot 10^4 = m_1 n_1 \cdot 10^6 \).

Имеет: \( 1 \le m_1 n_1 < 100 \).

Если \( 1 \le m_1 n_1 < 10 \), то порядок числа \( mn \) равен \( 6 \);

если \( 10 \le m_1 n_1 < 100 \), то порядок числа \( mn \) равен \( 7 \).

Ответ: \( 6 \) или \( 7 \).

2) Тогда, \( 0{,}01mn = 0{,}01 \cdot m_1 n_1 \cdot 10^2 \cdot 10^4 = 10^{-2} \cdot m_1 n_1 \cdot 10^6 =\)

\(= m_1 n_1 \cdot 10^4 \).

Имеет: \( 1 \le m_1 n_1 < 100 \).

Если \( 1 \le m_1 n_1 < 10 \), то порядок числа \( 0{,}01mn \) равен \( 4 \);

если \( 10 \le m_1 n_1 < 100 \), то порядок числа \( 0{,}01mn \) равен \( 5 \).

Ответ: \( 4 \) или \( 5 \).

3) Тогда, \( 100m + n = 100 \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot 10^4 = \)

\( = 10^2 \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot10^4 = m_1 \cdot 10^4 + n_1 \cdot 10^4 = 10^4 \cdot (m_1 + n_1) \).

Имеет: \( 1 \le m_1 + n_1 < 100 \).

Если \( 1 \le m_1 + n_1 < 10 \), то порядок числа \( 100m + n \) равен \( 4 \);

если \( 10 \le m_1 + n_1 < 100 \), то порядок числа \( 100m + n \) равен \( 5 \).

Ответ: \( 4 \) или \( 5 \).

4) Тогда, \( 0{,}01m + n = 0{,}01 \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot 10^4 = \)

\( = 10^{-2} \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot 10^4 = m_1 \cdot 10^0 + n_1 \cdot 10^4 =\)

\(= 10^4 \cdot (m_1 \cdot 10^{-4} + n_1) \).

Имеет: \( 1 \le m_1 \cdot 10^{-4} + n_1 < 100 \).

Если \( 1 \le m_1 \cdot 10^{-4} + n_1 < 10 \), то порядок числа \( 0{,}01m + n \) равен \( 4 \);

если \( 10 \le m_1 \cdot 10^{-4} + n_1 < 100 \), то порядок числа \( 0{,}01m + n \) равен \( 5 \).

Ответ: \( 4 \) или \( 5 \).

Задано два числа: \( m = m_1 \cdot 10^2 \) и \( n = n_1 \cdot 10^4 \), где \( 1 \le m_1 < 10 \) и \( 1 \le n_1 < 10 \). Порядок числа \( m \) равен 2, а порядок числа \( n \) равен 4. Нужно найти порядок значений следующих выражений:

1) \( mn \)

Для нахождения порядка произведения чисел \( m \) и \( n \), нужно сложить их порядки, так как порядок произведения чисел равен сумме порядков этих чисел.

Итак, выражаем произведение чисел \( m \) и \( n \):

\( mn = (m_1 \cdot 10^2) \cdot (n_1 \cdot 10^4) \).

Применяем свойства степеней с одинаковым основанием:

\( mn = m_1 n_1 \cdot 10^2 \cdot 10^4 = m_1 n_1 \cdot 10^{2 + 4} = m_1 n_1 \cdot 10^6 \).

Теперь рассмотрим \( m_1 n_1 \). Так как \( 1 \le m_1 < 10 \) и \( 1 \le n_1 < 10 \), то произведение \( m_1 n_1 \) лежит в пределах от 1 до 100, то есть \( 1 \le m_1 n_1 < 100 \).

Если \( 1 \le m_1 n_1 < 10 \), то произведение \( m_1 n_1 \cdot 10^6 \) будет в пределах от \( 10^6 \) до \( 10^7 \), и порядок числа \( mn \) равен \( 6 \).

Если \( 10 \le m_1 n_1 < 100 \), то произведение \( m_1 n_1 \cdot 10^6 \) будет в пределах от \( 10^7 \) до \( 10^8 \), и порядок числа \( mn \) равен \( 7 \).

Таким образом, порядок числа \( mn \) может быть равен 6 или 7 в зависимости от значения \( m_1 n_1 \).

Ответ: Порядок числа \( mn \) может быть \( 6 \) или \( 7 \).

2) \( 0,01mn \)

Теперь рассмотрим выражение \( 0,01mn \). Мы можем записать его как:

\( 0,01mn = 0,01 \cdot m_1 n_1 \cdot 10^2 \cdot 10^4 \).

Теперь преобразуем выражение:

\( 0,01mn = 10^{-2} \cdot m_1 n_1 \cdot 10^6 = m_1 n_1 \cdot 10^4 \).

Таким образом, выражение \( 0,01mn \) зависит от произведения \( m_1 n_1 \), которое лежит в диапазоне от 1 до 100, как и в предыдущем случае.

Если \( 1 \le m_1 n_1 < 10 \), то результат \( m_1 n_1 \cdot 10^4 \) будет находиться в пределах от \( 10^4 \) до \( 10^5 \), и порядок числа \( 0,01mn \) будет равен 4.

Если \( 10 \le m_1 n_1 < 100 \), то результат \( m_1 n_1 \cdot 10^4 \) будет в пределах от \( 10^5 \) до \( 10^6 \), и порядок числа \( 0,01mn \) будет равен 5.

Таким образом, порядок числа \( 0,01mn \) может быть равен 4 или 5 в зависимости от значения \( m_1 n_1 \).

Ответ: Порядок числа \( 0,01mn \) может быть \( 4 \) или \( 5 \).

3) \( 100m + n \)

Теперь рассмотрим выражение \( 100m + n \). Мы можем записать его следующим образом:

\( 100m + n = 100 \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot 10^4 = 10^2 \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot 10^4 \).

Теперь упрощаем:

\( 100m + n = m_1 \cdot 10^4 + n_1 \cdot 10^4 = 10^4 \cdot (m_1 + n_1) \).

Теперь рассмотрим сумму \( m_1 + n_1 \), где \( 1 \le m_1 < 10 \) и \( 1 \le n_1 < 10 \). Поскольку оба числа находятся в пределах от 1 до 10, их сумма будет находиться в пределах от 2 до 20, то есть \( 1 \le m_1 + n_1 < 20 \).

Если \( 1 \le m_1 + n_1 < 10 \), то \( 10^4 \cdot (m_1 + n_1) \) будет в пределах от \( 10^4 \) до \( 10^5 \), и порядок числа \( 100m + n \) будет равен 4.

Если \( 10 \le m_1 + n_1 < 100 \), то \( 10^4 \cdot (m_1 + n_1) \) будет в пределах от \( 10^5 \) до \( 10^6 \), и порядок числа \( 100m + n \) будет равен 5.

Таким образом, порядок числа \( 100m + n \) может быть равен 4 или 5 в зависимости от суммы \( m_1 + n_1 \).

Ответ: Порядок числа \( 100m + n \) может быть \( 4 \) или \( 5 \).

4) \( 0,01m + n \)

Наконец, рассмотрим выражение \( 0,01m + n \). Мы можем записать его как:

\( 0,01m + n = 0,01 \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot 10^4 \).

Применим преобразования:

\( 0,01m + n = 10^{-2} \cdot m_1 \cdot 10^2 + n_1 \cdot 10^4 = m_1 \cdot 10^0 + n_1 \cdot 10^4 =\)

\( = 10^4 \cdot (m_1 \cdot 10^{-4} + n_1) \).

Теперь рассмотрим сумму \( m_1 \cdot 10^{-4} + n_1 \). Поскольку \( m_1 \cdot 10^{-4} \) очень мало по сравнению с \( n_1 \), то сумма будет зависеть от значения \( n_1 \).

Если \( 1 \le m_1 \cdot 10^{-4} + n_1 < 10 \), то \( 10^4 \cdot (m_1 \cdot 10^{-4} + n_1) \) будет в пределах от \( 10^4 \) до \( 10^5 \), и порядок числа \( 0,01m + n \) будет равен 4.

Если \( 10 \le m_1 \cdot 10^{-4} + n_1 < 100 \), то \( 10^4 \cdot (m_1 \cdot 10^{-4} + n_1) \) будет в пределах от \( 10^5 \) до \( 10^6 \), и порядок числа \( 0,01m + n \) будет равен 5.

Таким образом, порядок числа \( 0,01m + n \) может быть равен 4 или 5 в зависимости от значения \( m_1 \cdot 10^{-4} + n_1 \).

Ответ: Порядок числа \( 0,01m + n \) может быть \( 4 \) или \( 5 \).