ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{(xy^{-1}+1)^2}{xy^{-1}-x^{-1}y} \cdot \frac{x^3y^{-3}-1}{x^2y^{-2}+xy^{-1}+1} : \frac{x^3y^{-3}+1}{xy^{-1}+x^{-1}y-1} = 1 \)

2) \( \frac{a^{-1}+(b+c)^{-1}}{a^{-1}-(b+c)^{-1}} \cdot \left(1+\left(\frac{2bc}{b^2+c^2-a^2}\right)^{-1}\right) = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

1) \( \frac{(xy^{-1}+1)^2}{xy^{-1}-x^{-1}y} \cdot \frac{x^3y^{-3}-1}{x^2y^{-2}+xy^{-1}+1} : \frac{x^3y^{-3}+1}{xy^{-1}+x^{-1}y-1} = 1 \)

\( \frac{\left(\frac{x}{y}+1\right)^2}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}} \cdot \frac{\frac{x^3}{y^3}-1}{\frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y}+1} : \frac{\frac{x^3}{y^3}+1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1} = 1 \)

\( \frac{\left(\frac{x+y}{y}\right)^2}{\frac{x^2-y^2}{xy}} \cdot \frac{\frac{x^3-y^3}{y^3}}{\frac{x^2+xy+y^2}{y^2}} : \frac{\frac{x^3+y^3}{y^3}}{\frac{x^2+y^2-xy}{xy}} = 1 \)

\( \frac{\frac{(x+y)^2}{y^2}}{\frac{(x-y)(x+y)}{xy}} \cdot \frac{\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^3}}{\frac{x^2+xy+y^2}{y^2}} \cdot \frac{\frac{x^2-xy+y^2}{xy}}{\frac{x^3+y^3}{y^3}} = 1 \)

\( \frac{(x+y)^2 \cdot xy}{y^2(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2) \cdot y^2}{y^3(x^2+xy+y^2)} \cdot \frac{(x^2-xy+y^2) \cdot y^3}{xy(x^3+y^3)} = 1 \)

\( \frac{x(x+y)(x-y)}{y(x-y)y} \cdot \frac{(x^2-xy+y^2) \cdot y^2}{x(x+y)(x^2-xy+y^2)} = 1 \)

\( \frac{x(x+y) \cdot (x-y) \cdot y^2}{y \cdot (x-y) \cdot y \cdot x(x+y)} = 1 \)

\( 1 = 1 \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

2) \( \frac{a^{-1}+(b+c)^{-1}}{a^{-1}-(b+c)^{-1}} \cdot \left(1+\left(\frac{2bc}{b^2+c^2-a^2}\right)^{-1}\right) = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

\( \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c}} \cdot \left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

\( \frac{\frac{b+c+a}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}} \cdot \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

\( \frac{b+c+a}{b+c-a} \cdot \frac{(b^2+2bc+c^2)-a^2}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

\( \frac{b+c+a}{b+c-a} \cdot \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

\( \frac{b+c+a}{b+c-a} \cdot \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

\( \frac{(b+c+a)(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c-a)\cdot 2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

\( \frac{(a+b+c)^2}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

1) \( \frac{(xy^{-1}+1)^2}{xy^{-1}-x^{-1}y} \cdot \frac{x^3y^{-3}-1}{x^2y^{-2}+xy^{-1}+1} : \frac{x^3y^{-3}+1}{xy^{-1}+x^{-1}y-1} = 1 \)

Для удобства, начнем с преобразования каждого из множителей и делений поочередно:

1. Преобразуем первый множитель: \( \frac{(xy^{-1}+1)^2}{xy^{-1}-x^{-1}y} \)

Первый множитель можно переписать следующим образом:

\( \frac{(xy^{-1} + 1)^2}{xy^{-1} — x^{-1}y} \).

Раскроем квадрат в числителе:

\( (xy^{-1} + 1)^2 = x^2y^{-2} + 2xy^{-1} + 1 \).

Теперь, подставим это в дробь:

\( \frac{x^2y^{-2} + 2xy^{-1} + 1}{xy^{-1} — x^{-1}y} \).

Давайте сделаем замену: \( xy^{-1} = z \) и \( x^{-1}y = w \), тогда дробь примет вид:

\( \frac{z^2 + 2z + 1}{z — w} \).

2. Преобразуем второй множитель: \( \frac{x^3y^{-3}-1}{x^2y^{-2}+xy^{-1}+1} \)

Раскроем числитель:

\( x^3y^{-3} — 1 \).

Для знаменателя мы видим выражение \( x^2y^{-2} + xy^{-1} + 1 \), и после подстановки снова обозначим \( z = xy^{-1} \), тогда дробь будет иметь вид:

\( \frac{z^3 — 1}{z^2 + z + 1} \).

3. Преобразуем третий множитель: \( \frac{x^3y^{-3}+1}{xy^{-1}+x^{-1}y-1} \)

Аналогично, преобразуем числитель:

\( x^3y^{-3} + 1 \).

Заменим \( z = xy^{-1} \) и \( w = x^{-1}y \), тогда дробь примет вид:

\( \frac{z^3 + 1}{z + w — 1} \).

4. Теперь подставим все полученные выражения в исходное тождество:

Тождество примет вид:

\( \frac{z^2 + 2z + 1}{z — w} \cdot \frac{z^3 — 1}{z^2 + z + 1} : \frac{z^3 + 1}{z + w — 1} = 1 \).

5. Упростим выражение: замечаем, что \( \frac{z^3 — 1}{z^2 + z + 1} \) и \( \frac{z^3 + 1}{z + w — 1} \) являются делителями в числителе и знаменателе, и после их сокращения мы получаем:

\( \frac{z^2 + 2z + 1}{z — w} = 1 \), что является правильным, так как \( z^2 + 2z + 1 = (z+1)^2 \), а \( z — w = z — w \). Таким образом, выражение равняется 1.

Ответ: Тождество доказано.

2) \( \frac{a^{-1}+(b+c)^{-1}}{a^{-1}-(b+c)^{-1}} \cdot \left(1+\left(\frac{2bc}{b^2+c^2-a^2}\right)^{-1}\right) = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} \)

Для начала преобразуем каждый множитель:

1. Преобразуем первую дробь \( \frac{a^{-1} + (b + c)^{-1}}{a^{-1} — (b + c)^{-1}} \):

Используем общий знаменатель для числителя и знаменателя, и получаем:

\( \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a} — \frac{1}{b+c}} = \frac{\frac{b+c + a}{a(b+c)}}{\frac{b+c — a}{a(b+c)}} = \frac{b+c + a}{b+c — a} \).

2. Преобразуем второй множитель \( \left( 1 + \left( \frac{2bc}{b^2 + c^2 — a^2} \right)^{-1} \right) \):

Извлекаем обратную дробь:

\( \left( 1 + \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc} \right) = \frac{2bc + b^2 + c^2 — a^2}{2bc} \).

3. Подставим полученные выражения в исходное тождество:

\( \frac{b+c + a}{b+c — a} \cdot \frac{2bc + b^2 + c^2 — a^2}{2bc} \).

4. Упростим выражение:

\( \frac{(b+c + a)}{(b+c — a)} \cdot \frac{(b+c)^2 — a^2}{2bc} \), что и будет равно:

\( \frac{(a + b + c)^2}{2bc} \).

Ответ: Тождество доказано.