ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Тетрадь стоит 19 р. У покупателя имеются монеты только по 5 р., а у продавца — только по 2 р. Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег? В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец.

Пусть наименьшее количество монет у покупателя \( x \) по 5 руб, всего — \( 5x \) руб; а наименьшее количество монет у продавца \( y \) по 2 руб, всего — \( 2y \) руб.

Тогда:
\( 5x — 2y = 19 \)
\( 5x = 19 + 2y \)
\( x = \frac{19 + 2y}{5} \).

Выражение \( (19 + 2y) \) должно делиться нацело на 5, при этом
\( (19 + 2y) > 21 \) (так как \( 19 + 2 = 21 \)).

Если \( 19 + 2y = 25 \), то \( x = 5 \), а \( y = 3 \).

Значит, у покупателя должно быть, как минимум, 5 монет по 5 руб, а у продавца — 3 монеты по 2 руб.

Ответ: может; 5 монет по 5 руб и 3 монеты по 2 руб.

Обозначим:

— \( x \) — количество монет по 5 р. у покупателя,

— \( y \) — количество монет по 2 р. у продавца.

Тетрадь стоит 19 р., и покупатель должен отдать ровно эту сумму, поэтому у покупателя должно быть \( 5x \) рублей, а у продавца \( 2y \) рублей.

Составим систему уравнений:

1. \( 5x = 19 + 2y \) — у покупателя должно быть ровно столько денег, чтобы заплатить за тетрадь.

2. \( 5x — 2y = 19 \) — это выражение из первого уравнения, упрощённое.

Теперь рассмотрим уравнение \( 5x = 19 + 2y \). Для того чтобы \( x \) было целым числом, выражение \( 19 + 2y \) должно быть делимо на 5. То есть:

\( 19 + 2y \equiv 0 \pmod{5} \), что означает, что остаток от деления \( 19 + 2y \) на 5 должен быть равен 0.

Рассмотрим возможные значения для \( y \) в пределах от 0 до 4, так как остаток от деления на 5 даёт только 5 возможных значений:

— если \( y = 0 \), то \( 19 + 2(0) = 19 \), и остаток от деления \( 19 \) на 5 равен 4;

— если \( y = 1 \), то \( 19 + 2(1) = 21 \), и остаток от деления \( 21 \) на 5 равен 1;

— если \( y = 2 \), то \( 19 + 2(2) = 23 \), и остаток от деления \( 23 \) на 5 равен 3;

— если \( y = 3 \), то \( 19 + 2(3) = 25 \), и остаток от деления \( 25 \) на 5 равен 0;

— если \( y = 4 \), то \( 19 + 2(4) = 27 \), и остаток от деления \( 27 \) на 5 равен 2.

Таким образом, только при \( y = 3 \) выражение \( 19 + 2y \) делится на 5. Подставляем \( y = 3 \) в уравнение \( 5x = 19 + 2y \):

\( 5x = 19 + 2(3) = 19 + 6 = 25 \), следовательно, \( x = \frac{25}{5} = 5 \).

Таким образом, покупатель должен иметь \( x = 5 \) монет по 5 р., а продавец — \( y = 3 \) монеты по 2 р.

Ответ: Да, покупатель может рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена, если у него будет 5 монет по 5 р., а у продавца — 3 монеты по 2 р.