ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( 2a^{-5} b^2 \cdot 3a^{-2} b^{-5} \)

2) \( \left(\frac{1}{2} mn^{-3} \right)^{-2} \)

3) \( \frac{3{,}6a^2b}{0{,}9a^3b^{-3}} \)

4) \( 0{,}8a^{-6}b^8 \cdot 5a^{10}b^{-8} \)

5) \( \frac{25x^{-3}}{y^{-4}} \cdot \frac{y^4}{5x^{-7}} \)

6) \( 28c^3d^{-2} \cdot (2cd^{-1})^{-2} \)

1) \( 2a^{-5}b^2 \cdot 3a^{-2}b^{-5} = (2 \cdot 3) \cdot a^{-5-2}b^{2-5} = 6a^{-7}b^{-3}; \)

2) \( \left(\frac{1}{2}mn^{-3}\right)^{-2} = \left(\frac{mn^{-3}}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{mn^{-3}}\right)^2 = \frac{4}{m^2n^{-6}} = 4m^{-2}n^6; \)

3) \( \frac{3{,}6a^2b}{0{,}9a^3b^{-3}} = \frac{36a^2b}{9a^3b^{-3}} = 4a^{-1}b^4; \)

4) \( 0{,}8a^{-6}b^8 \cdot 5a^{10}b^{-8} = (0{,}8 \cdot 5) \cdot a^{-6+10}b^{8-8} = 4a^4b^0 = 4a^4; \)

5) \( \frac{25x^{-3}}{y^{-4}} \cdot \frac{y^4}{5x^{-7}} = \frac{25x^{-3} \cdot y^4}{y^{-4} \cdot 5x^{-7}} = 5x^4y^8; \)

6) \( 28c^3d^{-2} \cdot (2cd^{-1})^{-2} = 28c^3d^{-2} \cdot \frac{1}{(2cd^{-1})^2} = \frac{28c^3d^{-2}}{4c^2d^{-2}} = 7c. \)

1) \( 2a^{-5} b^2 \cdot 3a^{-2} b^{-5} \)

Для начала перемножим коэффициенты \( 2 \cdot 3 = 6 \). Теперь, используя правило для умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели для \( a \) и для \( b \):

\( a^{-5} \cdot a^{-2} = a^{-5 + (-2)} = a^{-7} \)

\( b^{2} \cdot b^{-5} = b^{2 + (-5)} = b^{-3} \)

Итак, выражение упрощается до:

\( 6a^{-7}b^{-3} \)

Ответ: \( 6a^{-7}b^{-3} \)

2) \( \left(\frac{1}{2} mn^{-3} \right)^{-2} \)

Для начала, применим правило для возведения дроби в отрицательную степень. Это равно возведению числителя и знаменателя в положительную степень:

\( \left(\frac{1}{2} mn^{-3} \right)^{-2} = \left(\frac{mn^{-3}}{2}\right)^{-2} = \frac{2^2}{(mn^{-3})^2} \)

Теперь возведем каждое слагаемое в квадрат:

\( \frac{2^2}{(mn^{-3})^2} = \frac{4}{m^2n^{-6}} \)

Используем свойство степени с отрицательным показателем, \( n^{-6} = \frac{1}{n^6} \), и получаем:

\( \frac{4}{m^2n^{-6}} = 4m^{-2}n^6 \)

Ответ: \( 4m^{-2}n^6 \)

3) \( \frac{3{,}6a^2b}{0{,}9a^3b^{-3}} \)

Сначала избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:

\( \frac{3{,}6a^2b}{0{,}9a^3b^{-3}} = \frac{36a^2b}{9a^3b^{-3}} \)

Теперь, при делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:

\( a^2 : a^3 = a^{2-3} = a^{-1} \)

\( b : b^{-3} = b^{1 — (-3)} = b^{1 + 3} = b^4 \)

Теперь упростим дробь:

\( \frac{36}{9} \cdot a^{-1} \cdot b^4 = 4a^{-1}b^4 \)

Ответ: \( 4a^{-1}b^4 \)

4) \( 0{,}8a^{-6}b^8 \cdot 5a^{10}b^{-8} \)

Перемножим коэффициенты: \( 0{,}8 \cdot 5 = 4 \). Теперь, используя правило для умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели для \( a \) и \( b \):

\( a^{-6} \cdot a^{10} = a^{-6 + 10} = a^4 \)

\( b^8 \cdot b^{-8} = b^{8 + (-8)} = b^0 = 1 \)

Итак, получаем:

\( 4a^4 \)

Ответ: \( 4a^4 \)

5) \( \frac{25x^{-3}}{y^{-4}} \cdot \frac{y^4}{5x^{-7}} \)

Перемножим числители и знаменатели:

\( \frac{25x^{-3} \cdot y^4}{y^{-4} \cdot 5x^{-7}} = \frac{25x^{-3}y^4}{5x^{-7}y^{-4}} \)

Теперь, при делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:

\( x^{-3} : x^{-7} = x^{-3 — (-7)} = x^{4} \)

\( y^4 : y^{-4} = y^{4 — (-4)} = y^8 \)

Итак, получаем:

\( \frac{25}{5} \cdot x^4 \cdot y^8 = 5x^4y^8 \)

Ответ: \( 5x^4y^8 \)

6) \( 28c^3d^{-2} \cdot (2cd^{-1})^{-2} \)

Сначала возведем \( (2cd^{-1})^{-2} \) в квадрат. Используя правило для возведения произведения в степень, получаем:

\( (2cd^{-1})^{-2} = 2^{-2} \cdot c^{-2} \cdot d^{2} = \frac{1}{4} \cdot c^{-2} \cdot d^2 \)

Теперь умножаем \( 28c^3d^{-2} \) на полученное выражение:

\( 28c^3d^{-2} \cdot \frac{1}{4} \cdot c^{-2} \cdot d^2 = \frac{28c^3 \cdot c^{-2} \cdot d^{-2} \cdot d^2}{4} \)

Используем правило для умножения степеней с одинаковым основанием, складывая показатели для \( c \) и для \( d \):

\( c^3 \cdot c^{-2} = c^{3 — 2} = c^1 = c \)

\( d^{-2} \cdot d^2 = d^{(-2 + 2)} = d^0 = 1 \)

Итак, получаем:

\( \frac{28c}{4} = 7c \)

Ответ: \( 7c \)