ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( 8^{-3} \cdot 2^7 \)

2) \( \left(2 \frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3} \)

3) \( 25^{-4} : (0{,}2^{-3})^{-2} \)

4) \( \frac{(-36)^{-3} \cdot 6^8}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}} \)

5) \( \frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}} \)

6) \( \frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8} \)

1) \( 8^{-3} \cdot 2^7 = (2^3)^{-3} \cdot 2^7 = 2^{-9} \cdot 2^7 = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}; \)

2) \( \left(2\frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3} = \left(\frac{9}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-9} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^{-4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-9} = \)

\( = \left(\frac{3}{2}\right)^{-8} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-9} = \left(\frac{2}{3}\right)^8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-9} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1{,}5; \)

3) \( 25^{-4} : (0{,}2^{-3})^{-2} = (5^2)^{-4} : \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\right)^{-2} = 5^{-8} : \left(\frac{1}{5}\right)^6 = \)

\( = 5^{-8} \cdot 5^6 = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}; \)

4) \( \frac{(-36)^{-3} \cdot 6^8}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}} = \frac{(-6^2)^{-3} \cdot 6^8}{(6^3)^{-5} \cdot (-6)^{18}} = \frac{(-6)^{-6} \cdot 6^8}{6^{-15} \cdot (-6)^{18}} = \)

\( = \frac{-6^{-6} \cdot 6^8}{6^{-15} \cdot 6^{18}} = -\frac{6^2}{6^3} = -\frac{1}{6}; \)

5) \( \frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}} = \frac{(2 \cdot 3)^{-10}}{(3^4)^{-2} \cdot (2^4)^{-3}} = \frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-12}} = 2^2 \cdot 3^{-2} = \frac{4}{9}; \)

6) \( \frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8} = \frac{(2 \cdot 7)^5 \cdot 2^{-7}}{(2^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8} = \frac{2^5 \cdot 7^5 \cdot 2^{-7}}{2^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{2^{-2} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^6} = 2^2 \cdot 7^{-1} = \)

\( = 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7}. \)

1) \( 8^{-3} \cdot 2^7 \)

Для начала распишем 8 как \( 2^3 \), так как \( 8 = 2^3 \). Затем заменим 8 на \( 2^3 \):

\( 8^{-3} \cdot 2^7 = (2^3)^{-3} \cdot 2^7 = 2^{-9} \cdot 2^7 \)

Теперь при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. То есть:

\( 2^{-9} \cdot 2^7 = 2^{-9 + 7} = 2^{-2} \)

Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем, \( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} \). Таким образом:

\( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( \frac{1}{4} \)

2) \( \left(2 \frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3} \)

Сначала представим смешанное число \( 2 \frac{1}{4} \) как дробь: \( 2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \).

Теперь, подставим это в выражение:

\( \left(\frac{9}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-9} \)

Используем правило для отрицательной степени дроби: \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \). Тогда:

\( \left(\frac{9}{4}\right)^{-4} = \left(\frac{4}{9}\right)^4 \) и \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-9} = \left(\frac{3}{2}\right)^9 \).

Теперь подставим это в выражение:

\( \left(\frac{4}{9}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^9 \)

Преобразуем степени:

\( \left(\frac{4}{9}\right)^4 = \frac{4^4}{9^4} \) и \( \left(\frac{3}{2}\right)^9 = \frac{3^9}{2^9} \).

Теперь умножаем дроби:

\( \frac{4^4}{9^4} \cdot \frac{3^9}{2^9} = \frac{4^4 \cdot 3^9}{9^4 \cdot 2^9} \)

Преобразуем \( 4^4 \) как \( (2^2)^4 = 2^8 \), и получаем:

\( \frac{2^8 \cdot 3^9}{9^4 \cdot 2^9} = \frac{3^9}{9^4 \cdot 2} \)

Заменим \( 9 \) как \( 3^2 \), получаем:

\( \frac{3^9}{(3^2)^4 \cdot 2} = \frac{3^9}{3^8 \cdot 2} = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{3}{2} = 1{,}5 \)

3) \( 25^{-4} : (0{,}2^{-3})^{-2} \)

Для начала, представим 25 как \( 5^2 \). Таким образом, \( 25^{-4} = (5^2)^{-4} = 5^{-8} \).

Теперь, возведем \( 0{,}2^{-3} \) в степень -2: \( (0{,}2^{-3})^{-2} = 0{,}2^{6} = (5^{-1})^6 = 5^{-6} \).

Теперь делим:

\( 5^{-8} : 5^{-6} = 5^{-8 + 6} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)

Ответ: \( \frac{1}{25} \)

4) \( \frac{(-36)^{-3} \cdot 6^8}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}} \)

Представляем числа как степени:

\( (-36)^{-3} = (-6^2)^{-3}, \quad 216^{-5} = (6^3)^{-5}, \quad (-6)^{18} = (-6)^{18} \)

Подставляем:

\( \frac{(-6^2)^{-3} \cdot 6^8}{(6^3)^{-5} \cdot (-6)^{18}} = \frac{(-6)^{-6} \cdot 6^8}{6^{-15} \cdot (-6)^{18}} \)

Применяем правила для степеней с одинаковым основанием:

\( (-6)^{-6} \cdot (-6)^{18} = (-6)^{12}, \quad 6^8 \cdot 6^{-15} \cdot 6^{18} = 6^11 \)

Упрощаем:

\( \frac{(-6)^{12} \cdot 6^8}{6^{11}} = \frac{(-6)^{12}}{6^3} = -\frac{6^2}{6^3} = -\frac{1}{6} \)

Ответ: \( -\frac{1}{6} \)

5) \( \frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}} \)

Представим 81 как \( 3^4 \) и 16 как \( 2^4 \), получаем:

\( \frac{6^{-10}}{(3^4)^{-2} \cdot (2^4)^{-3}} = \frac{6^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-12}} = \frac{2^{12} \cdot 3^{8}}{6^{10}} \)

Ответ: \( \frac{4}{9} \)

6) \( \frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8} \)

Представим 28 как \( 2^2 \cdot 7 \), тогда:

\( 28^{-2} = (2^2 \cdot 7)^{-2} = 2^{-4} \cdot 7^{-2} \)

Теперь подставим это в выражение:

\( \frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{2^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} \)

Заменим \( 14 = 2 \cdot 7 \), получаем:

\( 14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5 \)

Теперь подставим это в выражение:

\( \frac{2^5 \cdot 7^5 \cdot 2^{-7}}{2^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{2^{-2} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^6} = 2^2 \cdot 7^{-1} \)

Итак, результат:

\( 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7} \)

Ответ: \( \frac{4}{7} \)