ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( 9^{-4} \cdot 27^2 \)

2) \( 32^{-5} : 64^{-4} \)

3) \( \left(2 \frac{7}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\right)^5 \)

4) \( 8^{-2} : 0{,}5^4 \)

5) \( \frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9} \)

6) \( \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} \)

1) \( 9^{-4} \cdot 27^2 = (3^2)^{-4} \cdot (3^3)^2 = 3^{-8} \cdot 3^6 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}; \)

2) \( 32^{-5} : 64^{-4} = (2^5)^{-5} : (2^6)^{-4} = 2^{-25} : 2^{-24} = 2^{-1} = \frac{1}{2}; \)

3) \( \left(2\frac{7}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\right)^5 = \left(\frac{25}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-15} = \left(\left(\frac{5}{3}\right)^2\right)^{-7} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-15} = \)

\( = \left(\frac{5}{3}\right)^{-14} \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{15} = \left(\frac{5}{3}\right)^1 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}; \)

4) \( 8^{-2} : 0{,}5^4 = (2^3)^{-2} : \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 2^{-6} \cdot 2^4 = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}; \)

5) \( \frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9} = \frac{(2 \cdot 11)^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2 \cdot 11)^{-3} \cdot 11^9} = \frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9} = \frac{2^{-2} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^6} = 2^4 \cdot 11^0 = 16 \cdot 1 = 16; \)

6) \( \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} = \frac{(2 \cdot 5)^{-2} \cdot (3 \cdot 5)^{-4}}{(3 \cdot 2 \cdot 5)^{-6}} = \frac{2^{-2} \cdot 5^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-4}}{3^{-6} \cdot 2^{-6} \cdot 5^{-6}} = \)

\( = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-6}}{3^{-6} \cdot 2^{-6} \cdot 5^{-6}} = 2^{4} \cdot 3^{2} = 16 \cdot 9 = 144. \)

1) \( 9^{-4} \cdot 27^2 \)

Для начала представим 9 как \( 3^2 \) и 27 как \( 3^3 \), тогда:

\( 9^{-4} = (3^2)^{-4} = 3^{-8} \) и \( 27^2 = (3^3)^2 = 3^6 \).

Теперь перемножим эти степени:

\( 3^{-8} \cdot 3^6 = 3^{-8 + 6} = 3^{-2} \)

Теперь, используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:

\( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)

Ответ: \( \frac{1}{9} \)

2) \( 32^{-5} : 64^{-4} \)

32 представим как \( 2^5 \), а 64 как \( 2^6 \). Тогда:

\( 32^{-5} = (2^5)^{-5} = 2^{-25} \) и \( 64^{-4} = (2^6)^{-4} = 2^{-24} \).

Теперь, при делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:

\( 2^{-25} : 2^{-24} = 2^{-25 — (-24)} = 2^{-25 + 24} = 2^{-1} \)

Итак, получаем:

\( 2^{-1} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

3) \( \left(2 \frac{7}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\right)^5 \)

Сначала преобразуем смешанное число \( 2 \frac{7}{9} \) в неправильную дробь:

\( 2 \frac{7}{9} = \frac{25}{9} \)

Теперь, подставим это в выражение:

\( \left(\frac{25}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-15} \)

Используем правило для степени дроби \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \). Тогда:

\( \left(\frac{25}{9}\right)^{-7} = \left(\frac{9}{25}\right)^7 \) и \( \left(\frac{3}{5}\right)^{-15} = \left(\frac{5}{3}\right)^{15} \).

Теперь умножаем эти выражения:

\( \left(\frac{9}{25}\right)^7 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{15} \)

Решаем каждую степень:

\( \left(\frac{9}{25}\right)^7 = \frac{9^7}{25^7} \) и \( \left(\frac{5}{3}\right)^{15} = \frac{5^{15}}{3^{15}} \).

Теперь перемножаем дроби:

\( \frac{9^7}{25^7} \cdot \frac{5^{15}}{3^{15}} = \frac{9^7 \cdot 5^{15}}{25^7 \cdot 3^{15}} \)

В результате мы получаем:

\( \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \)

Ответ: \( 1\frac{2}{3} \)

4) \( 8^{-2} : 0{,}5^4 \)

8 можно представить как \( 2^3 \), а 0,5 как \( \frac{1}{2} \), тогда:

\( 8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6} \) и \( 0,5^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 2^{-4} \).

Теперь, при делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:

\( 2^{-6} : 2^{-4} = 2^{-6 — (-4)} = 2^{-6 + 4} = 2^{-2} \)

Итак, получаем:

\( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( \frac{1}{4} \)

5) \( \frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9} \)

Представим 44 как \( 2^2 \cdot 11 \), тогда \( 44^{-3} = (2^2 \cdot 11)^{-3} = 2^{-6} \cdot 11^{-3} \).

Теперь подставим это в выражение:

\( \frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9} \)

Представим 22 как \( 2 \cdot 11 \), тогда \( 22^6 = (2 \cdot 11)^6 = 2^6 \cdot 11^6 \).

Теперь упростим:

\( \frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9} = \frac{2^{-2} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^6} = 2^4 \cdot 11^0 = 16 \cdot 1 = 16 \)

Ответ: \( 16 \)

6) \( \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} \)

Представим 30 как \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \), тогда:

\( 30^{-6} = (2 \cdot 3 \cdot 5)^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6} \)

Теперь подставим это в выражение:

\( \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} = \frac{(2 \cdot 5)^{-2} \cdot (3 \cdot 5)^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} \)

Раскроем все степени:

\( = \frac{2^{-2} \cdot 5^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} \)

Теперь упростим дробь:

\( = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-6}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} = 2^{4} \cdot 3^{2} = 16 \cdot 9 = 144 \)

Ответ: \( 144 \)