ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) \( -2{,}4a^{-4}b^3 \cdot (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} \)

2) \( (-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0{,}1yz^{-4})^{-2} \)

3) \( 1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot \left(1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4}\right)^{-3}  \)

4) \( \left(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6}\right)^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2} \)

5) \( \left(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}}\right)^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4\)

6) \( \left(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}}\right)^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2  \)

1) \( -2{,}4a^{-4}b^3 \cdot (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} = -2{,}4a^{-4}b^3 \cdot \frac{1}{(-2a^{-3}c^{-5})^3} = \)

\( = \frac{-2{,}4a^{-4}b^3}{-8a^{-9}c^{-15}} = 0{,}3a^{5}b^{3}c^{15}; \)

2) \( (-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0{,}1yz^{-4})^{-2} = \frac{1}{(-10x^{-2}yz^{-8})^2 \cdot (0{,}1yz^{-4})^2} = \)

\( = \frac{1}{100x^{-4}y^2z^{-16} \cdot 0{,}01y^2z^{-8}} = \frac{x^4z^{16}z^8}{y^2 \cdot y^2} = \frac{x^4z^{24}}{y^4}; \)

3) \( 1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot \left(1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4}\right)^{-3} = \frac{16n}{9m^6} \cdot \frac{1}{\left(\frac{4}{3}m^{-1}n^{-4}\right)^3} = \)

\( = \frac{16n}{9m^6} \cdot \frac{27}{64m^{-3}n^{-12}} = \frac{16n \cdot 27 \cdot m^3 n^{12}}{9m^6 \cdot 64} = \frac{3n^{13}}{4m^3}; \)

4) \( \left(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6}\right)^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2} = \frac{1}{\left(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6}\right)^3 \cdot (-6a^2b^9)^2} = \)

\( = \frac{1}{-\frac{1}{216}a^{-9}b^{-18} \cdot 36a^4b^{18}} = \frac{a^9b^{18}}{-\frac{1}{6}a^4b^{18}} = -6a^5; \)

5) \( \left(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}}\right)^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4 = \left(\frac{5k^{-1}}{7p^{-3}}\right)^2 \cdot 49m^{-6}n^4 = \frac{25k^{-2} \cdot p^6}{49p^{-6}} \cdot 49m^{-6}n^4 = \)

\( = \frac{25 \cdot n^4 \cdot p^6}{k^2 \cdot m^6} = \frac{25n^4p^6}{m^6k^2}; \)

6) \( \left(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}}\right)^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2 = \left(\frac{3y^{-2}}{4x^{-5}}\right)^3 \cdot (4^2x^{-6}y^4)^2 = \)

\( = \frac{27y^{-6} \cdot x^{15}}{64x^{-15}} \cdot 16^2 x^{-12} y^8 = \frac{27 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot x^{15}}{x^{12}} = 108x^3y^2. \)

1) \( -2{,}4a^{-4}b^3 \cdot (-2a^{-3}c^{-5})^{-3}  \)

Рассмотрим выражение: \( -2{,}4a^{-4}b^3 \cdot \frac{1}{(-2a^{-3}c^{-5})^3} \)

Первый шаг: возведем второй множитель в степень -3:

\( (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} = (-2)^{-3} \cdot (a^{-3})^{-3} \cdot (c^{-5})^{-3} \)

Из этого получаем: \( (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} \), \( (a^{-3})^{-3} = a^{9} \), \( (c^{-5})^{-3} = c^{15} \).

Таким образом, \( (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} = \frac{1}{-8}a^9c^{15} = \frac{a^9c^{15}}{-8} \).

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( -2{,}4a^{-4}b^3 \cdot \frac{a^9c^{15}}{-8} = \frac{-2{,}4a^{-4}b^3a^9c^{15}}{-8} \).

Упрощаем выражение: \( -2{,}4a^{-4}a^9 = -2{,}4a^{5} \), то есть получаем:

\( \frac{-2{,}4a^5b^3c^{15}}{-8} = 0{,}3a^5b^3c^{15} \).

Ответ: \( 0{,}3a^5b^3c^{15}; \)

2) \( (-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0{,}1yz^{-4})^{-2} \)

Рассмотрим выражение: \( (-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0{,}1yz^{-4})^{-2} \)

Возводим каждый множитель в степень -2:

\( (-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} = (-10)^{-2} \cdot (x^{-2})^{-2} \cdot (y)^{-2} \cdot (z^{-8})^{-2} \)

Из этого получаем: \( (-10)^{-2} = \frac{1}{100} \), \( (x^{-2})^{-2} = x^4 \), \( (y)^{-2} = y^2 \), \( (z^{-8})^{-2} = z^{16} \).

Аналогично для второго множителя:

\( (0{,}1yz^{-4})^{-2} = (0{,}1)^{-2} \cdot (y)^{-2} \cdot (z^{-4})^{-2} \)

Из этого получаем: \( (0{,}1)^{-2} = 100 \), \( (y)^{-2} = y^2 \), \( (z^{-4})^{-2} = z^8 \).

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( \frac{1}{100x^{-4}y^2z^{-16}} \cdot 100y^2z^8 \)

Упрощаем:

\( = \frac{100y^2z^8}{100x^4y^2z^{16}} = \frac{z^{24}}{x^4y^4}; \)

Ответ: \( \frac{x^4z^{24}}{y^4}; \)

3) \( 1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot \left(1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4}\right)^{-3} =\)

Рассмотрим выражение: \( 1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot \left(1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4}\right)^{-3} \)

Переводим дробь в смешанное число: \( 1\frac{7}{9} = \frac{16}{9} \), таким образом, первый множитель будет: \( \frac{16n}{9m^6} \).

Теперь возводим второй множитель в степень -3:

\( \left(1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4}\right)^{-3} = \left(\frac{4}{3}m^{-1}n^{-4}\right)^{-3} = \frac{3^3}{4^3}m^{3}n^{12} = \frac{27}{64}m^{3}n^{12} \).

Теперь подставляем в исходное выражение:

\( \frac{16n}{9m^6} \cdot \frac{27}{64m^3n^{-12}} \)

Упрощаем: \( \frac{16 \cdot 27n \cdot m^3n^{12}}{9m^6 \cdot 64} = \frac{3n^{13}}{4m^3} \).

Ответ: \( \frac{3n^{13}}{4m^3}; \)

4) \( \left(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6}\right)^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2} = \)

Рассматриваем выражение: \( \left(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6}\right)^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2} \)

Возводим каждый множитель в степень:

\( \left(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6}\right)^{-3} = \frac{1}{(-\frac{1}{6})^3 \cdot a^{9}b^{18}} = -\frac{1}{216}a^{-9}b^{-18} \)

И для второго множителя:

\( (-6a^2b^9)^{-2} = \frac{1}{36a^4b^{18}} \).

Теперь подставляем в исходное выражение:

\( \frac{1}{-\frac{1}{216}a^{-9}b^{-18} \cdot 36a^4b^{18}} = \frac{a^9b^{18}}{-\frac{1}{6}a^4b^{18}} = -6a^5 \).

Ответ: \( -6a^5; \)

5) \( \left(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}}\right)^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4  \)

Рассматриваем выражение: \( \left(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}}\right)^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4 \)

Возводим множители в степень -2:

\( \left(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}}\right)^{-2} = \frac{25k^{-2} \cdot p^6}{49p^{-6}} \)

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( \frac{25k^{-2} \cdot p^6}{49p^{-6}} \cdot 49m^{-6}n^4 = \frac{25n^4p^6}{m^6k^2}; \)

Ответ: \( \frac{25n^4p^6}{m^6k^2}; \)

6) \( \left(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}}\right)^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2 \)

Рассмотрим выражение: \( \left(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}}\right)^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2 \)

Возводим каждый множитель в степень:

\( \left(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}}\right)^{-3} = \frac{27y^{-6} \cdot x^{15}}{64x^{-15}} \)

И для второго множителя:

\( (16x^{-6}y^4)^2 = 16^2x^{-12}y^8 \).

Теперь подставляем в исходное выражение:

\( \frac{27y^{-6} \cdot x^{15}}{64x^{-15}} \cdot 16^2x^{-12}y^8 = 108x^3y^2 \).

Ответ: \( 108x^3y^2. \)