ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) \( 3{,}6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} \)

2) \( 1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot \left( 1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3} \right)^{-3} \)

3) \( \left( \frac{5m^{-4}}{6n^{-1}} \right)^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2 \)

4) \( \left( \frac{7a^{-6}}{b^5} \right)^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4 \)

1) \( 3{,}6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} = 3{,}6a^{-8}b^4 \cdot \frac{1}{(-3a^{-3}b^{-7})^2} = \)

\( = \frac{3{,}6a^{-8}b^4}{9a^{-6}b^{-14}} = \frac{0{,}4a^{-8}b^4 \cdot a^6 b^{14}}{a^8} = \frac{0{,}4b^{18}}{a^2} = \frac{2b^{18}}{5a^2}; \)

2) \( 1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot \left(1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3}\right)^{-3} = \frac{25}{16}x^{-6}y^2 \cdot \left(\frac{5}{4}x^{-1}y^{-3}\right)^{-3} = \)

\( = \frac{25}{16}x^{-6}y^2 \cdot \frac{64}{125}x^{3}y^{9} = \frac{25 \cdot 64}{16 \cdot 125} \cdot x^{-3} y^{11} = \frac{4}{5} \cdot \frac{y^{11}}{x^3} = \frac{4y^{11}}{5x^3}; \)

3) \( \left(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}}\right)^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2 = \left(\frac{6n^{-1}}{5m^{-4}}\right)^3 \cdot 125m^{-10}n^2 = \)

\( = \frac{216n^{-3}}{125m^{-12}} \cdot 125m^{-10}n^2 = \frac{216n^{-3} \cdot m^{12} \cdot m^{-10} \cdot n^2}{1} = \frac{216m^2}{n}; \)

4) \( \left(\frac{7a^{-6}}{b^5}\right)^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4 = \left(\frac{b^5}{7a^{-6}}\right)^2 \cdot a^{-16}b^4 = \frac{b^{10}}{49a^{-12}} \cdot a^{-16}b^4 = \)

\( = \frac{b^{14} \cdot a^{12}}{49} \cdot a^{-16} = \frac{b^{14}}{49a^4}. \)

1) \( 3{,}6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} \)

Рассмотрим выражение: \( 3{,}6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} \)

Первый шаг: возводим второй множитель в степень -2:

\( (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} = (-3)^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^{-7})^{-2} \)

Из этого получаем: \( (-3)^{-2} = \frac{1}{9} \), \( (a^{-3})^{-2} = a^6 \), \( (b^{-7})^{-2} = b^{14} \).

Таким образом, \( (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} = \frac{a^6b^{14}}{9} \).

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( 3{,}6a^{-8}b^4 \cdot \frac{a^6b^{14}}{9} \)

Упрощаем выражение: \( 3{,}6a^{-8}a^6 = 3{,}6a^{-2} \), \( b^4b^{14} = b^{18} \).

Теперь получаем:

\( \frac{3{,}6a^{-2}b^{18}}{9} = \frac{0{,}4a^{-2}b^{18}}{1} = \frac{2b^{18}}{5a^2}; \)

Ответ: \( \frac{2b^{18}}{5a^2}; \)

2) \( 1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot \left( 1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3} \right)^{-3} \)

Рассмотрим выражение: \( 1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot \left( 1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3} \right)^{-3} \)

Первый шаг: преобразуем смешанное число \( 1\frac{9}{16} \) в неправильную дробь:

\( 1\frac{9}{16} = \frac{25}{16} \), таким образом, первый множитель будет \( \frac{25}{16}x^{-6}y^2 \).

Теперь возводим второй множитель в степень -3:

\( \left( 1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3} \right)^{-3} = \left( \frac{5}{4}x^{-1}y^{-3} \right)^{-3} = \frac{4^3}{5^3}x^3y^9 = \frac{64}{125}x^3y^9 \).

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( \frac{25}{16}x^{-6}y^2 \cdot \frac{64}{125}x^3y^9 \)

Упрощаем: \( \frac{25 \cdot 64}{16 \cdot 125} = \frac{1600}{2000} = \frac{4}{5} \), \( x^{-6}x^3 = x^{-3} \), \( y^2y^9 = y^{11} \).

Получаем:

\( \frac{4}{5} \cdot \frac{y^{11}}{x^3} = \frac{4y^{11}}{5x^3}; \)

Ответ: \( \frac{4y^{11}}{5x^3}; \)

3) \( \left( \frac{5m^{-4}}{6n^{-1}} \right)^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2 \)

Рассматриваем выражение: \( \left( \frac{5m^{-4}}{6n^{-1}} \right)^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2 \)

Первый шаг: возводим дробь в степень -3:

\( \left( \frac{5m^{-4}}{6n^{-1}} \right)^{-3} = \frac{6^3n^3}{5^3m^{-12}} = \frac{216n^3}{125m^{-12}} \).

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( \frac{216n^3}{125m^{-12}} \cdot 125m^{-10}n^2 \)

Упрощаем: \( 125 \) сокращается, и получаем:

\( \frac{216n^3 \cdot m^{12} \cdot m^{-10} \cdot n^2}{1} = \frac{216m^2n^5}{1} = \frac{216m^2n^5}{n^3} = \frac{216m^2}{n}; \)

Ответ: \( \frac{216m^2}{n}; \)

4) \( \left( \frac{7a^{-6}}{b^5} \right)^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4 \)

Рассматриваем выражение: \( \left( \frac{7a^{-6}}{b^5} \right)^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4 \)

Первый шаг: возводим дробь в степень -2:

\( \left( \frac{7a^{-6}}{b^5} \right)^{-2} = \frac{b^{10}}{49a^{-12}} \).

Теперь возводим второй множитель в степень 4:

\( (a^{-4}b)^4 = a^{-16}b^4 \).

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( \frac{b^{10}}{49a^{-12}} \cdot a^{-16}b^4 \)

Упрощаем: \( b^{10}b^4 = b^{14} \), \( a^{-12}a^{-16} = a^{-28} \).

Получаем:

\( \frac{b^{14}}{49a^4}; \)

Ответ: \( \frac{b^{14}}{49a^4}; \)