Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Решите графически уравнение:
1) \( \frac{4}{x} = 4 — x\)
2) \( x — 2 = \frac{3}{x}\)
3) \( x + 2 = -\frac{5}{x}\)
1) \( \frac{4}{x} = 4 — x; \)
\( y = \frac{4}{x}; \)
| x | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 |
\( y = 4 — x; \)
| x | 0 | 4 |
|---|---|---|
| y | 4 | 0 |
Ответ: \( x = 2 \).
2) \( x — 2 = \frac{3}{x}; \)
\( y = \frac{3}{x}; \)
| x | -3 | -1 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y | -1 | -3 | 3 | 1 |
\( y = x — 2; \)
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | -2 | 0 |
Ответ: \( x = -1 \) и \( x = 3 \).
3) \( x + 2 = -\frac{5}{x}; \)
\( y = -\frac{5}{x}; \)
| x | -5 | -1 | 1 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| y | 1 | 5 | -5 | -1 |
\( y = x + 2; \)
| x | 0 | -2 |
|---|---|---|
| y | 2 | 0 |
Ответ: корней нет.
1) Решим графически уравнение \( \frac{4}{x} = 4 — x \).
Шаг 1. Перепишем уравнение как равенство значений двух функций:
\( y = \frac{4}{x} \) и \( y = 4 — x \).
Шаг 2. Опишем график функции \( y = \frac{4}{x} \).
Это гипербола. Она не определена при \( x = 0 \), поэтому ось \( Oy \) (прямая \( x = 0 \)) является вертикальной асимптотой. Ось \( Ox \) (прямая \( y = 0 \)) является горизонтальной асимптотой. Одна ветвь расположена в I четверти (при \( x > 0 \) получаем \( y > 0 \)), другая — в III четверти (при \( x < 0 \) получаем \( y < 0 \)).
Шаг 3. Опишем график функции \( y = 4 — x \).
Это прямая. Она убывает, потому что коэффициент при \( x \) равен \(-1\). Пересекает ось \( Oy \) в точке \( (0; 4) \), а ось \( Ox \) в точке \( (4; 0) \).
Шаг 4. Точки пересечения этих графиков — решения уравнения. Найдем их вычислением (это соответствует тому, где графики пересекаются).
\( \frac{4}{x} = 4 — x \)
Умножим обе части на \( x \) (при этом помним, что \( x \neq 0 \)):
\( 4 = (4 — x)\cdot x \)
Раскроем скобки:
\( 4 = 4x — x^2 \)
Перенесем все в одну сторону:
\( x^2 — 4x + 4 = 0 \)
Это квадратный трёхчлен. Заметим, что:
\( x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2 \)
Тогда:
\( (x — 2)^2 = 0 \Rightarrow x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Шаг 5. Найдем соответствующее \( y \), чтобы описать точку пересечения:
\( y = \frac{4}{2} = 2 \)
Значит, графики пересекаются в точке \( (2; 2) \), и решение уравнения:
\( x = 2 \).
2) Решим графически уравнение \( x — 2 = \frac{3}{x} \).
Шаг 1. Перепишем уравнение как равенство значений двух функций:
\( y = \frac{3}{x} \) и \( y = x — 2 \).
Шаг 2. Опишем график функции \( y = \frac{3}{x} \).
Это гипербола. Не определена при \( x = 0 \), поэтому \( x = 0 \) — вертикальная асимптота. \( y = 0 \) — горизонтальная асимптота. При \( x > 0 \) значения \( y > 0 \) (ветвь в I четверти), при \( x < 0 \) значения \( y < 0 \) (ветвь в III четверти).
Шаг 3. Опишем график функции \( y = x — 2 \).
Это возрастающая прямая (коэффициент при \( x \) равен \( 1 \)). Пересекает ось \( Oy \) в точке \( (0; -2) \). Пересекает ось \( Ox \) в точке \( (2; 0) \).
Шаг 4. Точки пересечения графиков дадут решения уравнения. Найдем их вычислением.
\( x — 2 = \frac{3}{x} \)
Умножим обе части на \( x \) (помним, что \( x \neq 0 \)):
\( x(x — 2) = 3 \)
Раскроем скобки:
\( x^2 — 2x = 3 \)
Перенесем 3 в левую часть:
\( x^2 — 2x — 3 = 0 \)
Шаг 5. Решим квадратное уравнение разложением на множители. Подберем числа, произведение которых \(-3\), а сумма \(-2\): это \(-3\) и \(1\).
\( x^2 — 3x + x — 3 = 0 \)
\( (x — 3)(x + 1) = 0 \)
Тогда:
\( x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
Шаг 6. Укажем точки пересечения (найдем \( y \) для наглядности графического смысла).
Если \( x = 3 \), то \( y = x — 2 = 3 — 2 = 1 \) и \( y = \frac{3}{3} = 1 \). Точка \( (3; 1) \).
Если \( x = -1 \), то \( y = x — 2 = -1 — 2 = -3 \) и \( y = \frac{3}{-1} = -3 \). Точка \( (-1; -3) \).
Значит, решения уравнения:
\( x = -1 \) и \( x = 3 \).
3) Решим графически уравнение \( x + 2 = -\frac{5}{x} \).
Шаг 1. Перепишем уравнение как равенство значений двух функций:
\( y = -\frac{5}{x} \) и \( y = x + 2 \).
Шаг 2. Опишем график функции \( y = -\frac{5}{x} \).
Это гипербола. Не определена при \( x = 0 \), значит \( x = 0 \) — вертикальная асимптота. \( y = 0 \) — горизонтальная асимптота. Из-за минуса ветви расположены во II и IV четвертях: при \( x > 0 \) получаем \( y < 0 \) (IV четверть), при \( x < 0 \) получаем \( y > 0 \) (II четверть).
Шаг 3. Опишем график функции \( y = x + 2 \).
Это возрастающая прямая (коэффициент при \( x \) равен \( 1 \)). Пересекает ось \( Oy \) в точке \( (0; 2) \). Пересекает ось \( Ox \) в точке \( (-2; 0) \).
Шаг 4. Точки пересечения графиков — решения уравнения. Найдем их вычислением.
\( x + 2 = -\frac{5}{x} \)
Умножим обе части на \( x \) (помним, что \( x \neq 0 \)):
\( x(x + 2) = -5 \)
Раскроем скобки:
\( x^2 + 2x = -5 \)
Перенесем \(-5\) в левую часть:
\( x^2 + 2x + 5 = 0 \)
Шаг 5. Проверим, есть ли действительные корни (а значит, есть ли точки пересечения на плоскости). Найдем дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 5 \).
\( D = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -16 \)
Так как \( D < 0 \), действительных корней нет, значит графики не пересекаются.
Итак, уравнение не имеет решений:
корней нет.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!