ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

1) \( \frac{8}{x} = 6 — x\)

2) \( 2x = \frac{2}{x}\)

3) \( \frac{7}{x} = -x\)

1) \( \frac{8}{x} = 6 — x; \)

\( y = \frac{8}{x}; \)

\( y = 6 — x; \)

Ответ: \( x = 2 \) и \( x = 4 \).

2) \( 2x = \frac{2}{x}; \)

\( y = \frac{2}{x}; \)

\( y = 2x; \)

Ответ: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

3) \( \frac{7}{x} = -x; \)

\( y = \frac{7}{x}; \)

\( y = -x; \)

Ответ: корней нет.

1) Решим графически уравнение \( \frac{8}{x} = 6 — x \).

Шаг 1. Перепишем уравнение как равенство значений двух функций:

\( y = \frac{8}{x} \) и \( y = 6 — x \).

Шаг 2. Опишем график функции \( y = \frac{8}{x} \).

Это гипербола. Она не определена при \( x = 0 \), то есть \( x = 0 \) является вертикальной асимптотой. Ось \( y = 0 \) (горизонтальная ось) также является асимптотой для этой функции. График состоит из двух ветвей: одна в первой четверти (для \( x > 0 \) значения \( y > 0 \)), а другая — в третьей четверти (для \( x < 0 \) значения \( y < 0 \)).

Шаг 3. Опишем график функции \( y = 6 — x \).

Это прямая. Она имеет угловой коэффициент \( -1 \), то есть линия убывает. Прямая пересекает ось \( y \) в точке \( (0; 6) \), а ось \( x \) — в точке \( (6; 0) \).

Шаг 4. Точки пересечения графиков дадут решения уравнения. Найдем их вычислением.

\( \frac{8}{x} = 6 — x \)

Умножим обе части на \( x \) (помня, что \( x \neq 0 \)):

\( 8 = (6 — x) \cdot x \)

Раскроем скобки:

\( 8 = 6x — x^2 \)

Переносим все в одну сторону:

\( x^2 — 6x + 8 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта для нахождения корней:

Дискриминант \( D \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равен \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 8 \):

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)

Корни уравнения можно найти по формулам:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \)

Таким образом, получаем два корня:

\( x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \).

Шаг 5. Подставим найденные \( x = 4 \) и \( x = 2 \) в одно из уравнений (например, \( y = 6 — x \)) для нахождения соответствующих значений \( y \):

Для \( x = 4 \), \( y = 6 — 4 = 2 \);

Для \( x = 2 \), \( y = 6 — 2 = 4 \);

Ответ: точки пересечения графиков находятся в точках \( (4; 2) \) и \( (2; 4) \).

2) Решим графически уравнение \( 2x = \frac{2}{x} \).

Шаг 1. Перепишем уравнение как равенство значений двух функций:

\( y = \frac{2}{x} \) и \( y = 2x \).

Шаг 2. Опишем график функции \( y = \frac{2}{x} \).

Это гипербола. Она не определена при \( x = 0 \), то есть вертикальная асимптота \( x = 0 \). График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях.

Шаг 3. Опишем график функции \( y = 2x \).

Это прямая линия с угловым коэффициентом \( 2 \), проходящая через начало координат. Линия имеет угол наклона 45 градусов, она увеличивается с увеличением \( x \).

Шаг 4. Точки пересечения этих графиков дадут решения уравнения. Найдем их вычислением.

\( 2x = \frac{2}{x} \)

Умножим обе части на \( x \) (помня, что \( x \neq 0 \)):

\( 2x^2 = 2 \)

Разделим обе части на 2:

\( x^2 = 1 \)

Таким образом, получаем два корня:

\( x = \pm 1 \).

Шаг 5. Подставим найденные значения \( x = 1 \) и \( x = -1 \) в одно из уравнений (например, \( y = 2x \)):

Для \( x = 1 \), \( y = 2 \cdot 1 = 2 \);

Для \( x = -1 \), \( y = 2 \cdot (-1) = -2 \);

Ответ: точки пересечения графиков находятся в точках \( (1; 2) \) и \( (-1; -2) \).

3) Решим графически уравнение \( \frac{7}{x} = -x \).

Шаг 1. Перепишем уравнение как равенство значений двух функций:

\( y = \frac{7}{x} \) и \( y = -x \).

Шаг 2. Опишем график функции \( y = \frac{7}{x} \).

Это гипербола. Она не определена при \( x = 0 \), то есть вертикальная асимптота \( x = 0 \). График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях.

Шаг 3. Опишем график функции \( y = -x \).

Это прямая линия с угловым коэффициентом \( -1 \), проходящая через начало координат. Линия убывает с увеличением \( x \).

Шаг 4. Точки пересечения графиков дадут решения уравнения. Найдем их вычислением.

\( \frac{7}{x} = -x \)

Умножим обе части на \( x \) (помня, что \( x \neq 0 \)):

\( 7 = -x^2 \)

Переносим все в одну сторону:

\( x^2 = -7 \)

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то действительных решений у уравнения нет.

Ответ: корней нет.