ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1) \(\begin{cases}
xy = 4 \\
4y = x
\end{cases}
\)

2) \( \begin{cases}
x — y = 1 \\
xy = 2
\end{cases}
\)

1) \(\begin{cases}
xy = 4 \\
4y = x
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
y = \frac{4}{x} \\
y = \frac{x}{4}
\end{cases}
\)

\( y = \frac{4}{x}; \)

\( y = \frac{x}{4}; \)

Ответ: \( (-4; -1) \) и \( (4; 1) \).

2) \( \begin{cases}
x — y = 1 \\
xy = 2
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
y = x — 1 \\
y = \frac{2}{x}
\end{cases}
\)

\( y = \frac{2}{x}; \)

\( y = x — 1; \)

Ответ: \( (-1; -2) \) и \( (2; 1) \).

1) Решим графически систему уравнений:

\(\begin{cases}
xy = 4 \\
4y = x
\end{cases}
\)

Шаг 1. Опишем график функции \( y = \frac{4}{x} \).

Это гипербола. Она не определена при \( x = 0 \), то есть вертикальная асимптота \( x = 0 \). Ось \( y = 0 \) является горизонтальной асимптотой. График состоит из двух ветвей: одна в I четверти (при \( x > 0 \) получаем \( y > 0 \)), другая в III четверти (при \( x < 0 \) получаем \( y < 0 \)).

Шаг 2. Опишем график функции \( y = \frac{x}{4} \).

Это прямая с угловым коэффициентом \( \frac{1}{4} \), то есть прямая, поднимающаяся с углом наклона, менее крутым, чем прямая с угловым коэффициентом 1. Пересекает ось \( y \) в точке \( (0; 0) \), и ось \( x \) также в точке \( (0; 0) \).

Шаг 3. Найдем точки пересечения графиков. Подставим одно уравнение в другое.

Для этого приравняем правые части обоих уравнений:

\( \frac{4}{x} = \frac{x}{4} \)

Умножим обе части на \( x \cdot 4 \) (при этом \( x \neq 0 \)):

\( 16 = x^2 \)

Из этого уравнения получаем:

\( x = \pm 4 \)

Шаг 4. Подставим найденные значения \( x = 4 \) и \( x = -4 \) в одно из уравнений (например, \( y = \frac{4}{x} \)):

Если \( x = 4 \), то \( y = \frac{4}{4} = 1 \);

Если \( x = -4 \), то \( y = \frac{4}{-4} = -1 \);

Ответ: точки пересечения графиков находятся в точках \( (-4; -1) \) и \( (4; 1) \).

2) Решим графически систему уравнений:

\( \begin{cases}
x — y = 1 \\
xy = 2
\end{cases}
\)

Шаг 1. Опишем график функции \( y = \frac{2}{x} \).

Это гипербола. Она не определена при \( x = 0 \), то есть вертикальная асимптота \( x = 0 \). График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III четвертях. При \( x > 0 \) значения \( y > 0 \), при \( x < 0 \) значения \( y < 0 \).

Шаг 2. Опишем график функции \( y = x — 1 \).

Это прямая с угловым коэффициентом \( 1 \), проходящая через точку \( (0; -1) \). Прямая возрастающая, с углом наклона 45 градусов, пересекает ось \( y \) в точке \( (0; -1) \), а ось \( x \) в точке \( (1; 0) \).

Шаг 3. Найдем точки пересечения графиков. Подставим одно уравнение в другое.

Для этого приравняем правые части обоих уравнений:

\( \frac{2}{x} = x — 1 \)

Умножим обе части на \( x \) (при этом \( x \neq 0 \)):

\( 2 = x(x — 1) \)

Раскроем скобки:

\( 2 = x^2 — x \)

Переносим все в одну сторону:

\( x^2 — x — 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Решим его разложением на множители:

\( x^2 — 2x + x — 2 = 0 \)

\( (x — 2)(x + 1) = 0 \)

Из этого уравнения получаем два корня:

\( x = 2 \) и \( x = -1 \).

Шаг 4. Подставим найденные значения \( x = 2 \) и \( x = -1 \) в одно из уравнений (например, \( y = x — 1 \)):

Если \( x = 2 \), то \( y = 2 — 1 = 1 \);

Если \( x = -1 \), то \( y = -1 — 1 = -2 \);

Ответ: точки пересечения графиков находятся в точках \( (-1; -2) \) и \( (2; 1) \).