ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \frac{9x — 18}{x^2 — 2x} \)

2) \( y = \frac{5x^2 — 5}{x — x^3} \)

1) \( y = \frac{9x — 18}{x^2 — 2x} = \frac{9(x — 2)}{x(x — 2)} = \frac{9}{x}, \quad x \ne 0 \text{ и } x \ne 2; \)

2) \( y = \frac{5x^2 — 5}{x — x^3} = \frac{5(x^2 — 1)}{x(1 — x^2)} = -\frac{5}{x}, \quad x \ne 0 \text{ и } x \ne \pm 1. \)

1) Рассмотрим первую функцию:

\( y = \frac{9x — 18}{x^2 — 2x} \)

Для упрощения, вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

\( y = \frac{9(x — 2)}{x(x — 2)} \)

Теперь видим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель \( (x — 2) \), который можно сократить. Однако, важно помнить, что при \( x = 2 \) дробь будет неопределена, так как при \( x = 2 \) числитель и знаменатель становятся равными нулю.

После сокращения получаем:

\( y = \frac{9}{x}, \quad x \neq 0 \text{ и } x \neq 2 \)

Таким образом, функция упрощается до \( y = \frac{9}{x} \), и теперь анализируем её поведение.

График функции \( y = \frac{9}{x} \) представляет собой гиперболу, с двумя асимптотами:

— Вертикальной асимптотой \( x = 0 \), поскольку функция не определена при \( x = 0 \).

— Горизонтальной асимптотой \( y = 0 \), так как при \( x \to \pm\infty \), функция стремится к нулю.

График будет иметь два отдельных участка:

— Для \( x > 0 \) функция будет положительной и стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to +\infty \), а при \( x \to 0^+ \) график будет стремиться к \( +\infty \).

— Для \( x < 0 \) функция будет отрицательной и стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \), а при \( x \to 0^- \) график будет стремиться к \( -\infty \).

График не существует в точке \( x = 2 \), так как при \( x = 2 \) функция не определена.

2) Рассмотрим вторую функцию:

\( y = \frac{5x^2 — 5}{x — x^3} \)

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

\( y = \frac{5(x^2 — 1)}{x(1 — x^2)} \)

Теперь заметим, что \( x^2 — 1 \) — это разность квадратов, то есть:

\( x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) \)

Подставим это в выражение:

\( y = \frac{5(x — 1)(x + 1)}{x(1 — x^2)} \)

Далее, в знаменателе \( 1 — x^2 \) также можно представить как разность квадратов:

\( 1 — x^2 = (1 — x)(1 + x) \)

Таким образом, выражение примет вид:

\( y = \frac{5(x — 1)(x + 1)}{x(1 — x)(1 + x)} \)

Теперь можем сократить общий множитель \( (x + 1) \) в числителе и знаменателе, но при этом важно помнить, что \( x \neq \pm 1 \), так как при этих значениях дробь будет неопределена.

После сокращения получаем:

\( y = -\frac{5}{x}, \quad x \neq 0 \text{ и } x \neq \pm 1 \)

Это выражение идентично функции из первого пункта, только с коэффициентом -5 в числителе. График функции будет иметь тот же вид, что и в предыдущем случае, но с амплитудой, увеличенной в 5 раз, и с изменённым знаком. Он также будет иметь асимптоты \( x = 0 \) и \( y = 0 \), а также точки, где функция не определена: \( x = 0 \) и \( x = \pm 1 \).

Описание графика:

— График будет аналогичен графику функции \( y = \frac{1}{x} \), но значение функции будет в 5 раз меньше на всех участках и с противоположным знаком.

— Для \( x > 0 \) функция будет отрицательной и стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to +\infty \), а при \( x \to 0^+ \) график будет стремиться к \( -\infty \).

— Для \( x < 0 \) функция будет положительной и стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \), а при \( x \to 0^- \) график будет стремиться к \( +\infty \).

Таким образом, график будет дважды более крутым по сравнению с функцией \( y = \frac{1}{x} \), так как коэффициент -5 уменьшает значения функции и меняет её знак.