ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \frac{x — 3}{x^2 — 3x} \)

2) \( y = \frac{10x^2 — 40}{x^3 — 4x}  \)

1) \( y = \frac{x — 3}{x^2 — 3x} = \frac{x — 3}{x(x — 3)} = \frac{1}{x}, \quad x \ne 0 \text{ и } x \ne 3; \)

2) \( y = \frac{10x^2 — 40}{x^3 — 4x} = \frac{10(x^2 — 4)}{x(x^2 — 4)} = \frac{10}{x}, \quad x \ne 0 \text{ и } x \ne \pm 2. \)

1) Рассмотрим функцию:

\( y = \frac{x — 3}{x^2 — 3x} \)

Приведем выражение в более удобный вид:

\( y = \frac{x — 3}{x(x — 3)} \)

Теперь видим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель \( (x — 3) \), который можно сократить, но при этом важно помнить, что \( x \neq 3 \), так как при \( x = 3 \) дробь будет неопределена.

Таким образом, после сокращения получаем:

\( y = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \text{ и } x \neq 3 \)

График функции \( y = \frac{1}{x} \) представляет собой гиперболу, с двумя асимптотами: вертикальной асимптотой \( x = 0 \) и горизонтальной асимптотой \( y = 0 \). Функция не определена в точке \( x = 0 \), так как в знаменателе находится переменная \( x \), и дробь не существует при \( x = 0 \). Функция также не определена в точке \( x = 3 \), поскольку при \( x = 3 \) числитель и знаменатель обнуляются.

График будет иметь два отдельных участка:

— Для \( x > 0 \) функция будет принимать положительные значения, и график будет стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to +\infty \), а при \( x \to 0^+ \) график стремится к \( +\infty \).

— Для \( x < 0 \) функция будет отрицательной, и график будет стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \), а при \( x \to 0^- \) график стремится к \( -\infty \).

2) Рассмотрим вторую функцию:

\( y = \frac{10x^2 — 40}{x^3 — 4x} \)

Для упрощения, вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

\( y = \frac{10(x^2 — 4)}{x(x^2 — 4)} \)

Далее заметим, что \( x^2 — 4 \) — это разность квадратов, то есть:

\( x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2) \)

Подставляем это в исходное выражение:

\( y = \frac{10(x — 2)(x + 2)}{x(x — 2)(x + 2)} \)

Теперь можем сократить общий множитель \( (x — 2)(x + 2) \) в числителе и знаменателе, но при этом нужно помнить, что \( x \neq \pm 2 \), так как при этих значениях дробь будет неопределена.

После сокращения получаем:

\( y = \frac{10}{x}, \quad x \neq 0 \text{ и } x \neq \pm 2 \)

Это выражение идентично функции из первого пункта, только с коэффициентом 10 в числителе. График функции будет иметь тот же вид, что и в предыдущем случае, но с амплитудой, увеличенной в 10 раз. Он также будет иметь асимптоты \( x = 0 \) и \( y = 0 \), а также точки, где функция не определена: \( x = 0 \) и \( x = \pm 2 \).

Описание графика:

— График будет аналогичен графику функции \( y = \frac{1}{x} \), но значение функции будет в 10 раз больше на всех участках.

— Для \( x > 0 \) функция будет положительной и стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to +\infty \), а при \( x \to 0^+ \) график будет стремиться к \( +\infty \).

— Для \( x < 0 \) функция будет отрицательной и стремиться к оси \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \), а при \( x \to 0^- \) график будет стремиться к \( -\infty \).

Таким образом, график будет дважды более крутым по сравнению с функцией \( y = \frac{1}{x} \), так как коэффициент 10 увеличивает значения функции.