ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пусть \( f(x) = -\frac{1}{x} \). Постройте график функции \( y = -f\left(-\frac{1}{x}\right) \).

\( f(x) = -\frac{1}{x} \Rightarrow f\left(-\frac{1}{x}\right) = x \Rightarrow y = -x. \)

1. Задано, что \( f(x) = -\frac{1}{x} \). Это означает, что исходная функция представляет собой гиперболу, где график функции проходит через точки \( (1, -1) \) и \( (-1, 1) \), с асимптотами на осях \( x \) и \( y \). Эта гипербола расположена в первом и третьем квадрантах, где функции принимает отрицательные значения для положительных \( x \) и положительные для отрицательных \( x \).

2. Рассмотрим преобразование функции в выражении \( y = -f\left(-\frac{1}{x}\right) \). Мы применяем несколько операций над функцией:

а) Внутри функции \( f(x) \) находится выражение \( -\frac{1}{x} \), что означает замену \( x \) на \( -\frac{1}{x} \) в функции \( f(x) \). Если \( f(x) = -\frac{1}{x} \), то \( f\left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{-\frac{1}{x}} = x \). Таким образом, \( f\left(-\frac{1}{x}\right) = x \).

б) После этого функция изменяется на \( -f\left(-\frac{1}{x}\right) \), что значит, что мы умножаем результат \( f\left(-\frac{1}{x}\right) \) на \( -1 \). Получаем: \( -x \). Таким образом, окончательное выражение для функции: \( y = -x \).

3. Теперь мы имеем функцию \( y = -x \), которая является прямой. График этой функции — это прямая линия, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом \( -1 \). Эта прямая наклонена вниз, её угол наклона составляет 45°, и она пересекает оси \( x \) и \( y \) на противоположных концах, то есть при \( x = -y \).

График:

График функции \( y = -x \) представляет собой прямую, которая наклонена вниз с углом 45° относительно оси \( x \). Она проходит через начало координат, пересекает ось \( x \) в точке \( x = 0 \) и ось \( y \) в точке \( y = 0 \). Эта прямая будет располагаться в первом и третьем квадрантах, где значения \( x \) и \( y \) противоположны по знаку, и линия будет убывать.