Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Функция f такова, что \( f(x) = \frac{4}{x} \). Докажите, что \( f(x + 1) — f(x — 1) = -\frac{1}{2} f(x + 1) \cdot f(x — 1) \).
Так как \( f(x) = \frac{4}{x} \), то:
\( f(x + 1) = \frac{4}{x + 1}; \quad f(x — 1) = \frac{4}{x — 1}. \)
Тогда:
\( f(x + 1) — f(x — 1) = -\frac{1}{2} f(x + 1) \cdot f(x — 1) \)
\( \frac{4}{x + 1} — \frac{4}{x — 1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{4}{x — 1} \)
\( \frac{4(x — 1) — 4(x + 1)}{(x — 1)(x + 1)} = -\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{4}{x — 1} \)
\( \frac{4x — 4 — 4x — 4}{(x — 1)(x + 1)} = -\frac{8}{(x — 1)(x + 1)} \)
\( \frac{-8}{x^2 — 1} = -\frac{8}{x^2 — 1} \)
\( \frac{8}{1 — x^2} = \frac{8}{1 — x^2} \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)
1. Задано, что функция \( f(x) = \frac{4}{x} \).
2. Рассмотрим выражения для \( f(x + 1) \) и \( f(x — 1) \):
Для \( f(x + 1) \), подставим \( x + 1 \) вместо \( x \) в выражение для \( f(x) \):
\( f(x + 1) = \frac{4}{x + 1} \)
Для \( f(x — 1) \), подставим \( x — 1 \) вместо \( x \) в выражение для \( f(x) \):
\( f(x — 1) = \frac{4}{x — 1} \)
3. Теперь вычислим \( f(x + 1) — f(x — 1) \):
\( f(x + 1) — f(x — 1) = \frac{4}{x + 1} — \frac{4}{x — 1} \)
Для того чтобы вычесть эти дроби, найдём общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен \( (x + 1)(x — 1) = x^2 — 1 \). Тогда:
\( f(x + 1) — f(x — 1) = \frac{4(x — 1) — 4(x + 1)}{(x + 1)(x — 1)} \)
4. Упростим числитель:
\( 4(x — 1) — 4(x + 1) = 4x — 4 — 4x — 4 = -8 \)
Тогда получаем:
\( f(x + 1) — f(x — 1) = \frac{-8}{x^2 — 1} \)
5. Теперь вычислим \( -\frac{1}{2} f(x + 1) \cdot f(x — 1) \):
\( -\frac{1}{2} f(x + 1) \cdot f(x — 1) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{4}{x — 1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{(x + 1)(x — 1)} = -\frac{8}{x^2 — 1}
\)
6. Мы видим, что оба выражения совпадают:
\( f(x + 1) — f(x — 1) = -\frac{8}{x^2 — 1} = -\frac{1}{2} f(x + 1) \cdot f(x — 1)
\)
Вывод: Мы доказали, что \( f(x + 1) — f(x — 1) = -\frac{1}{2} f(x + 1) \cdot f(x — 1) \), как и требовалось.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!