ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите такую функцию \(f\), удовлетворяющую условию \( 3f(x) + 2f(-x) = -\frac{2}{x}. \)

\( 3f(x) + 2f(-x) = -\frac{2}{x}. \)

Заменим \( x \) на \( (-x) \), тогда:

\( 3f(-x) + 2f(x) = \frac{2}{x} \)

\( 3f(-x) = \frac{2}{x} — 2f(x) \)

\( f(-x) = \frac{1}{3}\left( \frac{2}{x} — 2f(x) \right). \)

Подставим \( f(-x) = \frac{1}{3}\left( \frac{2}{x} — 2f(x) \right) \) в данное равенство:

\( 3f(x) + 2 \cdot \frac{1}{3}\left( \frac{2}{x} — 2f(x) \right) = -\frac{2}{x} \)

\( 3f(x) + \frac{2}{3}\left( \frac{2}{x} — 2f(x) \right) = -\frac{2}{x} \)

\( 3f(x) + \frac{4}{3x} — \frac{4}{3}f(x) = -\frac{2}{x} \)

\( 3f(x) — \frac{4}{3}f(x) = -\frac{2}{x} — \frac{4}{3x} \quad \mid \cdot 3 \)

\( 9f(x) — 4f(x) = -\frac{6}{x} — \frac{4}{x} \)

\( 5f(x) = -\frac{10}{x} \)

\( f(x) = -\frac{10}{x} : 5 \)

\( f(x) = -\frac{10}{x} \cdot \frac{1}{5} \)

\( f(x) = -\frac{2}{x}. \)

Ответ: \( f(x) = -\frac{2}{x}. \)

Необходимо найти функцию \( f(x) \), которая удовлетворяет условию:

\( 3f(x) + 2f(-x) = -\frac{2}{x} \)

Решение:

1. Начнем с того, что заменим \( x \) на \( -x \) в исходном уравнении. Получим новое уравнение:

\( 3f(-x) + 2f(x) = \frac{2}{x} \)

2. Теперь у нас два уравнения:

• \( 3f(x) + 2f(-x) = -\frac{2}{x} \)
• \( 3f(-x) + 2f(x) = \frac{2}{x} \)

3. Из первого уравнения выразим \( 3f(x) \):

\( 3f(x) = -\frac{2}{x} — 2f(-x) \)

4. Из второго уравнения выразим \( 3f(-x) \):

\( 3f(-x) = \frac{2}{x} — 2f(x) \)

5. Подставим выражение для \( 3f(-x) \) из второго уравнения в первое:

\( 3f(x) = -\frac{2}{x} — 2 \cdot \frac{1}{3} \left( \frac{2}{x} — 2f(x) \right) \)

6. Упростим правую часть уравнения. Для этого раскроем скобки:

\( 3f(x) = -\frac{2}{x} — \frac{2}{3} \left( \frac{2}{x} — 2f(x) \right) \)

\( 3f(x) = -\frac{2}{x} — \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{3}f(x) \)

7. Приведем подобные дроби на правой стороне уравнения:

\( 3f(x) = -\frac{2}{x} — \frac{4}{3x} + \frac{4}{3}f(x) \)

8. Переносим все элементы, содержащие \( f(x) \), в одну сторону, а остальные — в другую:

\( 3f(x) — \frac{4}{3}f(x) = -\frac{2}{x} — \frac{4}{3x} \)

9. Сначала упростим левую сторону уравнения:

\( \left( 3 — \frac{4}{3} \right) f(x) = -\frac{2}{x} — \frac{4}{3x} \)

10. Приводим дроби с коэффициентами на левой стороне:

\( \frac{9}{3} — \frac{4}{3} = \frac{5}{3} \), таким образом, уравнение примет вид:

\( \frac{5}{3}f(x) = -\frac{2}{x} — \frac{4}{3x} \)

11. Теперь нужно привести правую часть уравнения к общему знаменателю:

\( -\frac{2}{x} — \frac{4}{3x} = -\frac{6}{3x} — \frac{4}{3x} = -\frac{10}{3x} \)

12. Получаем следующее уравнение:

\( \frac{5}{3}f(x) = -\frac{10}{3x} \)

13. Умножим обе части уравнения на \( \frac{3}{5} \), чтобы выразить \( f(x) \):

\( f(x) = -\frac{10}{3x} \cdot \frac{3}{5} \)

14. Упростим выражение:

\( f(x) = -\frac{2}{x} \)

Ответ: \( f(x) = -\frac{2}{x} \)