ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите такую функцию \(f\), удовлетворяющую условию \( 2f(x) + f\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3x^2 — 6}{x}. \)

\( 2f(x) + f\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3x^2 — 6}{x}. \)

Заменим \( x \) на \( \left(-\frac{1}{x}\right) \), тогда:

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{3\left(-\frac{1}{x}\right)^2 — 6}{-\frac{1}{x}} \)

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{\frac{3}{x^2} — 6}{-\frac{1}{x}} \)

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{3 — 6x^2}{x^2} \cdot (-x) \)

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{-x(3 — 6x^2)}{x^2} \)

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{6x^2 — 3}{x} \)

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) = 6x — \frac{3}{x} — f(x) \)

\( f\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}\left(6x — \frac{3}{x} — f(x)\right). \)

Подставим \( f\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}\left(6x — \frac{3}{x} — f(x)\right) \) в данное равенство:

\( 2f(x) + \frac{1}{2}\left(6x — \frac{3}{x} — f(x)\right) = \frac{3x^2 — 6}{x} \)

\( 2f(x) + 3x — \frac{3}{2x} — \frac{f(x)}{2} = \frac{3x^2 — 6}{x} \)

\( 2f(x) — \frac{f(x)}{2} = \frac{3x^2 — 6}{x} — 3x + \frac{3}{2x} \)

\( 2f(x) — \frac{f(x)}{2} = \frac{2(3x^2 — 6) — 3x \cdot 2x + 3}{2x} \)

\( 2f(x) — \frac{f(x)}{2} = \frac{6x^2 — 12 — 6x^2 + 3}{2x} \)

\( 2f(x) — \frac{f(x)}{2} = \frac{-9}{2x} \quad \mid \cdot 2 \)

\( 4f(x) — f(x) = -\frac{9}{x} \)

\( 3f(x) = -\frac{9}{x} \)

\( f(x) = -\frac{9}{x} : 3 \)

\( f(x) = -\frac{3}{x}. \)

Ответ: \( f(x) = -\frac{3}{x}. \)

Необходимо найти функцию \( f(x) \), которая удовлетворяет условию:

\( 2f(x) + f\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3x^2 — 6}{x} \)

Решение:

1. Начнем с того, что заменим \( x \) на \( \left(-\frac{1}{x}\right) \) в исходном уравнении. Получим новое уравнение:

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{3\left(-\frac{1}{x}\right)^2 — 6}{-\frac{1}{x}} \)

2. Упростим выражение в правой части. Сначала возведем \( -\frac{1}{x} \) в квадрат:

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{\frac{3}{x^2} — 6}{-\frac{1}{x}} \)

3. Умножим числитель и знаменатель правой части на \( -x \), чтобы избавиться от отрицательного знака в знаменателе:

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{3 — 6x^2}{x^2} \cdot (-x) \)

4. Упростим правую часть уравнения:

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{-x(3 — 6x^2)}{x^2} \)

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{6x^2 — 3}{x} \)

5. Переносим все элементы с \( f(x) \) в одну сторону:

\( 2f\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{6x^2 — 3}{x} — f(x) \)

6. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить \( f\left(-\frac{1}{x}\right) \):

\( f\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}\left(6x — \frac{3}{x} — f(x)\right). \)

7. Подставим найденное выражение для \( f\left(-\frac{1}{x}\right) \) в исходное уравнение:

\( 2f(x) + \frac{1}{2}\left(6x — \frac{3}{x} — f(x)\right) = \frac{3x^2 — 6}{x} \)

8. Раскроем скобки на левой стороне уравнения:

\( 2f(x) + 3x — \frac{3}{2x} — \frac{f(x)}{2} = \frac{3x^2 — 6}{x} \)

9. Переносим все элементы с \( f(x) \) в одну сторону:

\( 2f(x) — \frac{f(x)}{2} = \frac{3x^2 — 6}{x} — 3x + \frac{3}{2x} \)

10. Упростим правую часть уравнения, сначала приведя дроби к общему знаменателю:

\( \frac{3x^2 — 6}{x} — 3x + \frac{3}{2x} = \frac{2(3x^2 — 6) — 3x \cdot 2x + 3}{2x} \)

11. Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

\( = \frac{6x^2 — 12 — 6x^2 + 3}{2x} \)

12. Приводим подобные члены в числителе:

\( = \frac{-9}{2x} \)

13. Теперь у нас есть уравнение:

\( 2f(x) — \frac{f(x)}{2} = \frac{-9}{2x} \)

14. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

\( 4f(x) — f(x) = -\frac{9}{x} \)

15. Приводим подобные члены на левой стороне уравнения:

\( 3f(x) = -\frac{9}{x} \)

16. Разделим обе части уравнения на 3:

\( f(x) = -\frac{9}{x} \div 3 \)

17. Упростим результат:

\( f(x) = -\frac{3}{x}. \)

Ответ: \( f(x) = -\frac{3}{x}. \)